Номер 100, страница 45 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

100. Даны векторы $\overrightarrow{OA} = 2\vec{i}, \overrightarrow{OB} = 3\vec{j}$. Докажите, что длины векторов $\overrightarrow{OM} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}$ и $\overrightarrow{OK} = \frac{3|\vec{j}|}{2|\vec{i}|}\overrightarrow{OA} + \frac{2|\vec{i}|}{3|\vec{j}|}\overrightarrow{OB}$ равны.

Дано

Векторы $ \vec{OA} = 2\vec{i} $ и $ \vec{OB} = 3\vec{j} $.
Вектор $ \vec{OM} = \vec{OA} + \vec{OB} $.
Вектор $ \vec{OK} = \frac{3}{2}\frac{|\vec{j}|}{|\vec{i}|}\vec{OA} + \frac{2}{3}\frac{|\vec{i}|}{|\vec{j}|}\vec{OB} $.

Перевод в СИ

Единичные векторы $ \vec{i} $ и $ \vec{j} $ в декартовой системе координат имеют длину 1.
То есть, $ |\vec{i}| = 1 $ и $ |\vec{j}| = 1 $.
Векторы можно представить в координатной форме: $ \vec{OA} = (2, 0) $, $ \vec{OB} = (0, 3) $.

Найти

Доказать, что длины векторов $ \vec{OM} $ и $ \vec{OK} $ равны.

Решение

Сначала найдем вектор $ \vec{OM} $ и вычислим его длину.
По определению: $ \vec{OM} = \vec{OA} + \vec{OB} $
Подставим выражения для $ \vec{OA} $ и $ \vec{OB} $: $ \vec{OM} = 2\vec{i} + 3\vec{j} $
Длина вектора $ \vec{OM} $ вычисляется по формуле $ |\vec{V}| = \sqrt{V_x^2 + V_y^2} $: $ |\vec{OM}| = \sqrt{(2)^2 + (3)^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13} $

Затем найдем вектор $ \vec{OK} $ и вычислим его длину.
По определению: $ \vec{OK} = \frac{3}{2}\frac{|\vec{j}|}{|\vec{i}|}\vec{OA} + \frac{2}{3}\frac{|\vec{i}|}{|\vec{j}|}\vec{OB} $
Так как $ \vec{i} $ и $ \vec{j} $ являются единичными векторами, их длины равны 1 ($ |\vec{i}| = 1 $, $ |\vec{j}| = 1 $).
Подставим эти значения в выражение для $ \vec{OK} $: $ \vec{OK} = \frac{3}{2}\frac{1}{1}\vec{OA} + \frac{2}{3}\frac{1}{1}\vec{OB} $ $ \vec{OK} = \frac{3}{2}\vec{OA} + \frac{2}{3}\vec{OB} $
Теперь подставим выражения для $ \vec{OA} $ и $ \vec{OB} $: $ \vec{OK} = \frac{3}{2}(2\vec{i}) + \frac{2}{3}(3\vec{j}) $
$ \vec{OK} = 3\vec{i} + 2\vec{j} $
Длина вектора $ \vec{OK} $ вычисляется по формуле $ |\vec{V}| = \sqrt{V_x^2 + V_y^2} $: $ |\vec{OK}| = \sqrt{(3)^2 + (2)^2} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13} $

Сравнивая полученные длины векторов, мы видим, что $ |\vec{OM}| = \sqrt{13} $ и $ |\vec{OK}| = \sqrt{13} $.
Следовательно, $ |\vec{OM}| = |\vec{OK}| $.
Что и требовалось доказать.

Ответ:

Длины векторов $ \vec{OM} $ и $ \vec{OK} $ равны $ \sqrt{13} $.