Номер 96, страница 45 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

Рисунок 70

96. Даны точки $A(-1; 4)$, $B(1; -2)$, $C(0; -4)$ и $D(2; 2)$. Найдите координаты вектора:

а) $\vec{m} = 2\vec{CD} - \vec{BC}$;

б) $\vec{n} = 0.5\vec{AB} + 2\vec{DC}$.

Дано

Точки: $A(-1; 4)$, $B(1; -2)$, $C(0; -4)$, $D(2; 2)$.

Найти:

Координаты векторов $\vec{m}$ и $\vec{n}$.

Решение

a) $\vec{m} = 2\vec{CD} - \vec{BC}$

Сначала найдем координаты вектора $\vec{CD}$. Координаты вектора, идущего из точки $X(x_1; y_1)$ в точку $Y(x_2; y_2)$, определяются как $(x_2 - x_1; y_2 - y_1)$.

Для вектора $\vec{CD}$ с точками $C(0; -4)$ и $D(2; 2)$:

$\vec{CD} = (x_D - x_C; y_D - y_C) = (2 - 0; 2 - (-4)) = (2; 6)$.

Теперь найдем вектор $2\vec{CD}$, умножив каждую координату на 2:

$2\vec{CD} = 2 \cdot (2; 6) = (2 \cdot 2; 2 \cdot 6) = (4; 12)$.

Затем найдем координаты вектора $\vec{BC}$. Для точек $B(1; -2)$ и $C(0; -4)$:

$\vec{BC} = (x_C - x_B; y_C - y_B) = (0 - 1; -4 - (-2)) = (-1; -2)$.

Наконец, вычислим координаты вектора $\vec{m} = 2\vec{CD} - \vec{BC}$, вычитая соответствующие координаты:

$\vec{m} = (4; 12) - (-1; -2) = (4 - (-1); 12 - (-2)) = (4 + 1; 12 + 2) = (5; 14)$.

Ответ: $\vec{m} = (5; 14)$

б) $\vec{n} = 0.5\vec{AB} + 2\vec{DC}$

Сначала найдем координаты вектора $\vec{AB}$. Для точек $A(-1; 4)$ и $B(1; -2)$:

$\vec{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A) = (1 - (-1); -2 - 4) = (2; -6)$.

Теперь найдем вектор $0.5\vec{AB}$, умножив каждую координату на 0.5:

$0.5\vec{AB} = 0.5 \cdot (2; -6) = (0.5 \cdot 2; 0.5 \cdot (-6)) = (1; -3)$.

Затем найдем координаты вектора $\vec{DC}$. Для точек $D(2; 2)$ и $C(0; -4)$:

$\vec{DC} = (x_C - x_D; y_C - y_D) = (0 - 2; -4 - 2) = (-2; -6)$.

Теперь найдем вектор $2\vec{DC}$, умножив каждую координату на 2:

$2\vec{DC} = 2 \cdot (-2; -6) = (2 \cdot (-2); 2 \cdot (-6)) = (-4; -12)$.

Наконец, вычислим координаты вектора $\vec{n} = 0.5\vec{AB} + 2\vec{DC}$, складывая соответствующие координаты:

$\vec{n} = (1; -3) + (-4; -12) = (1 + (-4); -3 + (-12)) = (1 - 4; -3 - 12) = (-3; -15)$.

Ответ: $\vec{n} = (-3; -15)$