Номер 92, страница 44 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

92. Даны векторы $\vec{a}(-0.6; 0.8)$, $\vec{b}(-\frac{9}{5}; 2\frac{2}{5})$, $\vec{c}(\frac{4}{5}; -\frac{3}{5})$, $\vec{d}(0.3; -0.4)$.

а) Найдите их длины;

б) укажите пары коллинеарных векторов.

Дано

Даны векторы: $\vec{a}(-0.6; 0.8)$, $\vec{b}(-\frac{9}{5}; 2\frac{2}{5})$, $\vec{c}(\frac{4}{5}; -\frac{3}{5})$, $\vec{d}(0.3; -0.4)$.

Перевод в СИ

Для удобства вычислений приведем координаты всех векторов к десятичному виду:

$\vec{a}(-0.6; 0.8)$

$\vec{b}(-\frac{9}{5}; 2\frac{2}{5}) = (-1.8; 2.4)$

$\vec{c}(\frac{4}{5}; -\frac{3}{5}) = (0.8; -0.6)$

$\vec{d}(0.3; -0.4)$

Найти:

а) длины векторов $|\vec{a}|, |\vec{b}|, |\vec{c}|, |\vec{d}|$.

б) пары коллинеарных векторов.

Решение

а) Найдите их длины;

Длина (модуль) вектора $\vec{v}(x; y)$ вычисляется по формуле $|\vec{v}| = \sqrt{x^2 + y^2}$.

Вычислим длины для каждого вектора:

Длина вектора $\vec{a}(-0.6; 0.8)$:

$|\vec{a}| = \sqrt{(-0.6)^2 + (0.8)^2} = \sqrt{0.36 + 0.64} = \sqrt{1} = 1$

Длина вектора $\vec{b}(-1.8; 2.4)$:

$|\vec{b}| = \sqrt{(-1.8)^2 + (2.4)^2} = \sqrt{3.24 + 5.76} = \sqrt{9} = 3$

Длина вектора $\vec{c}(0.8; -0.6)$:

$|\vec{c}| = \sqrt{(0.8)^2 + (-0.6)^2} = \sqrt{0.64 + 0.36} = \sqrt{1} = 1$

Длина вектора $\vec{d}(0.3; -0.4)$:

$|\vec{d}| = \sqrt{(0.3)^2 + (-0.4)^2} = \sqrt{0.09 + 0.16} = \sqrt{0.25} = 0.5$

Ответ:

$|\vec{a}| = 1$, $|\vec{b}| = 3$, $|\vec{c}| = 1$, $|\vec{d}| = 0.5$.

б) укажите пары коллинеарных векторов.

Два вектора $\vec{u}(x_1; y_1)$ и $\vec{v}(x_2; y_2)$ коллинеарны, если существует такое число $k \neq 0$, что $\vec{u} = k\vec{v}$. Это означает, что их соответствующие координаты пропорциональны: $\frac{x_1}{x_2} = \frac{y_1}{y_2} = k$ (при условии, что $x_2 \neq 0$ и $y_2 \neq 0$). Если одна из координат нулевая, то и соответствующая координата другого вектора должна быть нулевой.

Используем десятичные координаты векторов для проверки:

$\vec{a}(-0.6; 0.8)$

$\vec{b}(-1.8; 2.4)$

$\vec{c}(0.8; -0.6)$

$\vec{d}(0.3; -0.4)$

Проверим все возможные пары векторов на коллинеарность:

1. Векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$:

Сравним отношения соответствующих координат: $\frac{-1.8}{-0.6} = 3$ и $\frac{2.4}{0.8} = 3$.

Так как отношения равны ($k=3$), векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ коллинеарны ($\vec{b} = 3\vec{a}$).

2. Векторы $\vec{a}$ и $\vec{c}$:

Сравним отношения соответствующих координат: $\frac{0.8}{-0.6} = -\frac{4}{3}$ и $\frac{-0.6}{0.8} = -\frac{3}{4}$.

Так как отношения не равны ($-\frac{4}{3} \neq -\frac{3}{4}$), векторы $\vec{a}$ и $\vec{c}$ не коллинеарны.

3. Векторы $\vec{a}$ и $\vec{d}$:

Сравним отношения соответствующих координат: $\frac{0.3}{-0.6} = -\frac{1}{2}$ и $\frac{-0.4}{0.8} = -\frac{1}{2}$.

Так как отношения равны ($k = -\frac{1}{2}$), векторы $\vec{a}$ и $\vec{d}$ коллинеарны ($\vec{d} = -\frac{1}{2}\vec{a}$).

4. Векторы $\vec{b}$ и $\vec{c}$:

Сравним отношения соответствующих координат: $\frac{0.8}{-1.8} = -\frac{8}{18} = -\frac{4}{9}$ и $\frac{-0.6}{2.4} = -\frac{6}{24} = -\frac{1}{4}$.

Так как отношения не равны ($-\frac{4}{9} \neq -\frac{1}{4}$), векторы $\vec{b}$ и $\vec{c}$ не коллинеарны.

5. Векторы $\vec{b}$ и $\vec{d}$:

Сравним отношения соответствующих координат: $\frac{0.3}{-1.8} = -\frac{1}{6}$ и $\frac{-0.4}{2.4} = -\frac{1}{6}$.

Так как отношения равны ($k = -\frac{1}{6}$), векторы $\vec{b}$ и $\vec{d}$ коллинеарны ($\vec{d} = -\frac{1}{6}\vec{b}$).

6. Векторы $\vec{c}$ и $\vec{d}$:

Сравним отношения соответствующих координат: $\frac{0.3}{0.8} = \frac{3}{8}$ и $\frac{-0.4}{-0.6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.

Так как отношения не равны ($\frac{3}{8} \neq \frac{2}{3}$), векторы $\vec{c}$ и $\vec{d}$ не коллинеарны.

Ответ:

Пары коллинеарных векторов: $(\vec{a}, \vec{b})$, $(\vec{a}, \vec{d})$, $(\vec{b}, \vec{d})$.