Номер 97, страница 45 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

97. Даны точки: A(2; 4), B(1; 3), C(1,75; 1,25), D(3; 0). Найдите координаты точек M и K, если $ \overrightarrow{DK} = 4\overrightarrow{DC} $, $ \overrightarrow{AM} = 3\overrightarrow{AB} $.

Дано:

Точки: $A(2; 4)$, $B(1; 3)$, $C(1.75; 1.25)$, $D(3; 0)$.

Векторные равенства: $\vec{DK} = 4\vec{DC}$, $\vec{AM} = 3\vec{AB}$.

Найти:

Координаты точек $M$ и $K$.

Решение:

Координаты точки K

Для нахождения координат точки $K(x_K; y_K)$ используем равенство $\vec{DK} = 4\vec{DC}$.

Сначала найдем координаты вектора $\vec{DC}$. Координаты вектора, заданного двумя точками $P(x_P; y_P)$ и $Q(x_Q; y_Q)$, находятся как $(x_Q - x_P; y_Q - y_P)$.

Координаты точки $D(3; 0)$ и $C(1.75; 1.25)$.

$\vec{DC} = (x_C - x_D; y_C - y_D) = (1.75 - 3; 1.25 - 0) = (-1.25; 1.25)$.

Теперь умножим вектор $\vec{DC}$ на скаляр $4$:

$4\vec{DC} = (4 \cdot (-1.25); 4 \cdot 1.25) = (-5; 5)$.

Далее, выразим координаты вектора $\vec{DK}$ через координаты точек $D(3; 0)$ и $K(x_K; y_K)$:

$\vec{DK} = (x_K - x_D; y_K - y_D) = (x_K - 3; y_K - 0) = (x_K - 3; y_K)$.

Поскольку $\vec{DK} = 4\vec{DC}$, приравняем соответствующие координаты:

$(x_K - 3; y_K) = (-5; 5)$.

Получаем систему уравнений:

$x_K - 3 = -5 \Rightarrow x_K = -5 + 3 = -2$.

$y_K = 5$.

Ответ: Координаты точки $K(-2; 5)$.

Координаты точки M

Для нахождения координат точки $M(x_M; y_M)$ используем равенство $\vec{AM} = 3\vec{AB}$.

Сначала найдем координаты вектора $\vec{AB}$.

Координаты точки $A(2; 4)$ и $B(1; 3)$.

$\vec{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A) = (1 - 2; 3 - 4) = (-1; -1)$.

Теперь умножим вектор $\vec{AB}$ на скаляр $3$:

$3\vec{AB} = (3 \cdot (-1); 3 \cdot (-1)) = (-3; -3)$.

Далее, выразим координаты вектора $\vec{AM}$ через координаты точек $A(2; 4)$ и $M(x_M; y_M)$:

$\vec{AM} = (x_M - x_A; y_M - y_A) = (x_M - 2; y_M - 4)$.

Поскольку $\vec{AM} = 3\vec{AB}$, приравняем соответствующие координаты:

$(x_M - 2; y_M - 4) = (-3; -3)$.

Получаем систему уравнений:

$x_M - 2 = -3 \Rightarrow x_M = -3 + 2 = -1$.

$y_M - 4 = -3 \Rightarrow y_M = -3 + 4 = 1$.

Ответ: Координаты точки $M(-1; 1)$.