Номер 98, страница 45 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

98. Постройте в координатной плоскости векторы $\vec{a}(0; 3)$, $\vec{b}(-2; -3)$, $\vec{c}(-3; -0,5)$ и их проекции на оси, если начало каждого вектора – точка $M(2; 1)$.

Дано:

Векторы заданы своими компонентами: $\vec{a}(0; 3)$, $\vec{b}(-2; -3)$, $\vec{c}(-3; -0.5)$.

Начало каждого вектора — точка $M(2; 1)$.

Найти:

Построить векторы $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ в координатной плоскости, а также их проекции на оси.

Решение:

Определение конечных точек векторов:

Пусть начало вектора — точка $M(x_M; y_M)$, а компоненты вектора — $(v_x; v_y)$. Тогда конечная точка $N(x_N; y_N)$ определяется по формулам: $x_N = x_M + v_x$ и $y_N = y_M + v_y$.

Для данной задачи $M(2; 1)$.

Для вектора $\vec{a}(0; 3)$:

Конечная точка $A(x_A; y_A)$:

$x_A = 2 + 0 = 2$

$y_A = 1 + 3 = 4$

Таким образом, вектор $\vec{a}$ начинается в $M(2; 1)$ и заканчивается в $A(2; 4)$.

Для вектора $\vec{b}(-2; -3)$:

Конечная точка $B(x_B; y_B)$:

$x_B = 2 + (-2) = 0$

$y_B = 1 + (-3) = -2$

Таким образом, вектор $\vec{b}$ начинается в $M(2; 1)$ и заканчивается в $B(0; -2)$.

Для вектора $\vec{c}(-3; -0.5)$:

Конечная точка $C(x_C; y_C)$:

$x_C = 2 + (-3) = -1$

$y_C = 1 + (-0.5) = 0.5$

Таким образом, вектор $\vec{c}$ начинается в $M(2; 1)$ и заканчивается в $C(-1; 0.5)$.

Построение векторов:

1. Начертите декартову систему координат с осями x и y, отметьте начало координат $O(0;0)$. Выберите подходящий масштаб.

2. Отметьте точку $M(2; 1)$. Эта точка является общим началом для всех трех векторов.

3. Для вектора $\vec{a}$: Отметьте конечную точку $A(2; 4)$. Проведите направленный отрезок (вектор) от точки $M(2; 1)$ к точке $A(2; 4)$.

4. Для вектора $\vec{b}$: Отметьте конечную точку $B(0; -2)$. Проведите направленный отрезок (вектор) от точки $M(2; 1)$ к точке $B(0; -2)$.

5. Для вектора $\vec{c}$: Отметьте конечную точку $C(-1; 0.5)$. Проведите направленный отрезок (вектор) от точки $M(2; 1)$ к точке $C(-1; 0.5)$.

Построение проекций на оси:

Для каждого вектора $\vec{MN}$, где $M(x_M; y_M)$ и $N(x_N; y_N)$:

Проекция на ось x: Опустите перпендикуляры из точек $M$ и $N$ на ось x. Точки пересечения будут $M_x(x_M; 0)$ и $N_x(x_N; 0)$. Проекция вектора на ось x — это направленный отрезок от $M_x$ к $N_x$. Длина этого отрезка (со знаком) равна $v_x$.

Проекция на ось y: Опустите перпендикуляры из точек $M$ и $N$ на ось y. Точки пересечения будут $M_y(0; y_M)$ и $N_y(0; y_N)$. Проекция вектора на ось y — это направленный отрезок от $M_y$ к $N_y$. Длина этого отрезка (со знаком) равна $v_y$.

1. Для вектора $\vec{a}$ (из $M(2; 1)$ в $A(2; 4)$):

Проекция на ось x: Точки проекции на ось x — $M_x(2; 0)$ и $A_x(2; 0)$. Проекция представляет собой точку $(2; 0)$, поскольку $x_M = x_A = 2$. Скалярная проекция: $0$.

Проекция на ось y: Точки проекции на ось y — $M_y(0; 1)$ и $A_y(0; 4)$. Проведите направленный отрезок от $(0; 1)$ к $(0; 4)$. Скалярная проекция: $3$.

2. Для вектора $\vec{b}$ (из $M(2; 1)$ в $B(0; -2)$):

Проекция на ось x: Точки проекции на ось x — $M_x(2; 0)$ и $B_x(0; 0)$. Проведите направленный отрезок от $(2; 0)$ к $(0; 0)$. Скалярная проекция: $-2$.

Проекция на ось y: Точки проекции на ось y — $M_y(0; 1)$ и $B_y(0; -2)$. Проведите направленный отрезок от $(0; 1)$ к $(0; -2)$. Скалярная проекция: $-3$.

3. Для вектора $\vec{c}$ (из $M(2; 1)$ в $C(-1; 0.5)$):

Проекция на ось x: Точки проекции на ось x — $M_x(2; 0)$ и $C_x(-1; 0)$. Проведите направленный отрезок от $(2; 0)$ к $(-1; 0)$. Скалярная проекция: $-3$.

Проекция на ось y: Точки проекции на ось y — $M_y(0; 1)$ и $C_y(0; 0.5)$. Проведите направленный отрезок от $(0; 1)$ к $(0; 0.5)$. Скалярная проекция: $-0.5$.

Ответ:

Векторы и их проекции построены следующим образом:

Вектор $\vec{a}$ начинается в $M(2; 1)$, заканчивается в $A(2; 4)$. Проекция на ось x — точка $(2; 0)$, на ось y — отрезок от $(0; 1)$ до $(0; 4)$.

Вектор $\vec{b}$ начинается в $M(2; 1)$, заканчивается в $B(0; -2)$. Проекция на ось x — отрезок от $(2; 0)$ до $(0; 0)$, на ось y — отрезок от $(0; 1)$ до $(0; -2)$.

Вектор $\vec{c}$ начинается в $M(2; 1)$, заканчивается в $C(-1; 0.5)$. Проекция на ось x — отрезок от $(2; 0)$ до $(-1; 0)$, на ось y — отрезок от $(0; 1)$ до $(0; 0.5)$.