Практическое задание, страница 45 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАДАНИЕ

В декартовой системе координат постройте вектор $\vec{a} (4; 3)$, начало которого совпадает с началом координат. Используя тригонометрические функции, найдите приближенно угол между этим вектором и осью $Ox$. Аналогично найдите угол между вектором $\vec{b} (-5; 2)$ и осью $Ox$. Имея эти данные, вычислите угол между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$.

Дано:

Координаты вектора $ \vec{a} = (4; 3) $.

Координаты вектора $ \vec{b} = (-5; 2) $.

Начало векторов совпадает с началом координат $ (0; 0) $.

Перевод в СИ:

Данные представлены в безразмерных координатах и не требуют перевода в систему СИ.

Найти:

Построить вектор $ \vec{a} $.

Угол $ \alpha $ между вектором $ \vec{a} $ и осью $ Ox $.

Угол $ \beta $ между вектором $ \vec{b} $ и осью $ Ox $.

Угол $ \phi $ между векторами $ \vec{a} $ и $ \vec{b} $.

Решение

Построение вектора $\vec{a}(4; 3)$

Для построения вектора $ \vec{a}(4; 3) $ в декартовой системе координат необходимо:
1. Отметить начало вектора в точке начала координат $ (0; 0) $.
2. Найти точку с координатами $ (4; 3) $, отложив 4 единицы по оси $ Ox $ и 3 единицы по оси $ Oy $.
3. Провести направленный отрезок (стрелку) от точки $ (0; 0) $ до точки $ (4; 3) $. Конец отрезка будет представлять собой конец вектора.

Ответ: Вектор $ \vec{a}(4; 3) $ построен как направленный отрезок из начала координат $ (0;0) $ в точку $ (4;3) $.

Угол между вектором $\vec{a}$ и осью $Ox$

Пусть угол между вектором $ \vec{a} = (4; 3) $ и положительным направлением оси $ Ox $ равен $ \alpha $.
Тангенс этого угла определяется как отношение $y$-координаты к $x$-координате вектора:
$ \tan(\alpha) = \frac{a_y}{a_x} $
$ \tan(\alpha) = \frac{3}{4} = 0.75 $
Поскольку обе координаты $ a_x = 4 $ и $ a_y = 3 $ положительны, вектор находится в I четверти, и угол $ \alpha $ является острым.
$ \alpha = \arctan(0.75) $
Используя калькулятор, находим приближенное значение:
$ \alpha \approx 36.87^\circ $

Ответ: Угол между вектором $ \vec{a} $ и осью $ Ox $ приблизительно равен $ 36.87^\circ $.

Угол между вектором $\vec{b}$ и осью $Ox$

Пусть угол между вектором $ \vec{b} = (-5; 2) $ и положительным направлением оси $ Ox $ равен $ \beta $.
Определим опорный угол $ \theta $ (острый угол, который вектор образует с осью $ Ox $):
$ \tan(\theta) = \frac{|b_y|}{|b_x|} = \frac{2}{|-5|} = \frac{2}{5} = 0.4 $
Используя калькулятор:
$ \theta = \arctan(0.4) \approx 21.80^\circ $
Поскольку $x$-координата $ b_x = -5 $ отрицательна, а $y$-координата $ b_y = 2 $ положительна, вектор $ \vec{b} $ находится во II четверти. Угол $ \beta $ отсчитывается от положительной части оси $ Ox $ против часовой стрелки.
Следовательно, $ \beta = 180^\circ - \theta $
$ \beta \approx 180^\circ - 21.80^\circ = 158.20^\circ $

Ответ: Угол между вектором $ \vec{b} $ и осью $ Ox $ приблизительно равен $ 158.20^\circ $.

Угол между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$

Пусть угол между векторами $ \vec{a} $ и $ \vec{b} $ равен $ \phi $.
Мы уже вычислили углы, которые векторы $ \vec{a} $ и $ \vec{b} $ образуют с положительным направлением оси $ Ox $:
$ \alpha \approx 36.87^\circ $
$ \beta \approx 158.20^\circ $
Поскольку оба угла отсчитываются от одной и той же оси в одном направлении (против часовой стрелки), угол между векторами равен абсолютной разности этих углов:
$ \phi = |\beta - \alpha| $
$ \phi \approx |158.20^\circ - 36.87^\circ| = 121.33^\circ $

Альтернативный способ (через скалярное произведение):
Формула для косинуса угла между двумя векторами:
$ \cos(\phi) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|} $
Сначала найдем скалярное произведение векторов $ \vec{a} $ и $ \vec{b} $:
$ \vec{a} \cdot \vec{b} = a_x b_x + a_y b_y = (4)(-5) + (3)(2) = -20 + 6 = -14 $
Затем вычислим длины (модули) векторов:
$ |\vec{a}| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 $
$ |\vec{b}| = \sqrt{b_x^2 + b_y^2} = \sqrt{(-5)^2 + 2^2} = \sqrt{25 + 4} = \sqrt{29} $
Теперь подставим значения в формулу для косинуса угла:
$ \cos(\phi) = \frac{-14}{5 \sqrt{29}} $
$ \cos(\phi) \approx \frac{-14}{5 \times 5.38516} \approx \frac{-14}{26.9258} \approx -0.51995 $
Используя арккосинус, находим приближенное значение угла:
$ \phi = \arccos\left(\frac{-14}{5 \sqrt{29}}\right) $
$ \phi \approx 121.33^\circ $

Ответ: Угол между векторами $ \vec{a} $ и $ \vec{b} $ приблизительно равен $ 121.33^\circ $.