Номер 107, страница 50 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

107. Найдите скалярное произведение векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$, если:

a)

$|\vec{a}|=|\vec{b}|=6, \angle(\vec{a}, \vec{b})=60^{\circ}$;

б)

$|\vec{a}|=5, |\vec{b}|=2\sqrt{3}, \angle(\vec{a}, \vec{b})=150^{\circ}$.

а)

Дано:

$|\vec{a}| = 6$

$|\vec{b}| = 6$

$\angle(\vec{a}, \vec{b}) = 60^\circ$

Найти:

$\vec{a} \cdot \vec{b}$

Решение:

Скалярное произведение двух векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ определяется формулой:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\angle(\vec{a}, \vec{b}))$

Подставим известные значения:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 6 \cdot 6 \cdot \cos(60^\circ)$

Известно, что $\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$.

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 36 \cdot \frac{1}{2}$

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 18$

Ответ: 18

б)

Дано:

$|\vec{a}| = 5$

$|\vec{b}| = 2\sqrt{3}$

$\angle(\vec{a}, \vec{b}) = 150^\circ$

Найти:

$\vec{a} \cdot \vec{b}$

Решение:

Используем ту же формулу для скалярного произведения:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\angle(\vec{a}, \vec{b}))$

Подставим известные значения:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 5 \cdot 2\sqrt{3} \cdot \cos(150^\circ)$

Известно, что $\cos(150^\circ) = \cos(180^\circ - 30^\circ) = -\cos(30^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 10\sqrt{3} \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$

$\vec{a} \cdot \vec{b} = -\frac{10 \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{2}$

$\vec{a} \cdot \vec{b} = -\frac{10 \cdot 3}{2}$

$\vec{a} \cdot \vec{b} = -\frac{30}{2}$

$\vec{a} \cdot \vec{b} = -15$

Ответ: -15