Страница 50 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

102. Дан равнобедренный $\triangle ABC$, в котором $AB = BC$, $\angle B = 30^\circ$ (рисунок 77). Найдите угол между векторами:

а) $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$;

б) $\vec{AB}$ и $\vec{BC}$;

в) $\vec{AC}$ и $\vec{BA}$.

Рисунок 77

Рисунок 78

Дано:

Равнобедренный треугольник $ABC$.

Стороны $AB = BC$.

Угол $\angle B = 30^\circ$.

Найти:

а) Угол между векторами $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$.

б) Угол между векторами $\vec{AB}$ и $\vec{BC}$.

в) Угол между векторами $\vec{AC}$ и $\vec{BA}$.

Решение:

Сначала найдем углы при основании равнобедренного треугольника $ABC$.

Так как $AB = BC$, углы при основании $AC$ равны: $\angle BAC = \angle BCA$.

Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$.

Следовательно, $\angle BAC + \angle BCA + \angle B = 180^\circ$.

Подставляя известные значения: $2 \cdot \angle BAC + 30^\circ = 180^\circ$.

$2 \cdot \angle BAC = 180^\circ - 30^\circ$.

$2 \cdot \angle BAC = 150^\circ$.

$\angle BAC = \frac{150^\circ}{2} = 75^\circ$.

Значит, $\angle BCA = 75^\circ$.

а) Угол между векторами $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$

Угол между двумя векторами, исходящими из одной точки (имеющими общее начало), равен углу между соответствующими сторонами треугольника. В данном случае векторы $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$ имеют общее начало в точке $A$. Следовательно, угол между ними равен углу $\angle BAC$.

Мы нашли, что $\angle BAC = 75^\circ$.

Ответ: $75^\circ$

б) Угол между векторами $\vec{AB}$ и $\vec{BC}$

Векторы $\vec{AB}$ и $\vec{BC}$ не имеют общего начала. Чтобы найти угол между ними, необходимо привести их к общему началу. Мы можем перенести вектор $\vec{AB}$ так, чтобы его начало совпадало с началом вектора $\vec{BC}$, то есть в точку $B$. При этом направление вектора $\vec{AB}$ будет противоположно направлению вектора $\vec{BA}$.

Угол между векторами $\vec{BA}$ и $\vec{BC}$ равен $\angle ABC = 30^\circ$.

Вектор $\vec{AB}$ противоположен вектору $\vec{BA}$ (т.е. $\vec{AB} = -\vec{BA}$). Если угол между векторами $\vec{u}$ и $\vec{v}$ равен $\theta$, то угол между векторами $-\vec{u}$ и $\vec{v}$ равен $180^\circ - \theta$.

Следовательно, угол между $\vec{AB}$ и $\vec{BC}$ равен $180^\circ - \angle(\vec{BA}, \vec{BC})$.

Угол между $\vec{AB}$ и $\vec{BC}$ равен $180^\circ - \angle ABC = 180^\circ - 30^\circ = 150^\circ$.

Ответ: $150^\circ$

в) Угол между векторами $\vec{AC}$ и $\vec{BA}$

Векторы $\vec{AC}$ и $\vec{BA}$ не имеют общего начала. Приведем их к общему началу, например, в точку $A$. Вектор $\vec{AC}$ уже начинается в $A$. Вектор $\vec{BA}$ направлен из $B$ в $A$. Вектор $\vec{AB}$ направлен из $A$ в $B$. То есть $\vec{BA} = -\vec{AB}$.

Мы знаем угол между векторами $\vec{AC}$ и $\vec{AB}$, который равен $\angle BAC = 75^\circ$.

Чтобы найти угол между $\vec{AC}$ и $\vec{BA}$ (то есть $\vec{AC}$ и $-\vec{AB}$), используем то же свойство: если угол между $\vec{u}$ и $\vec{v}$ равен $\theta$, то угол между $\vec{u}$ и $-\vec{v}$ равен $180^\circ - \theta$.

Следовательно, угол между $\vec{AC}$ и $\vec{BA}$ равен $180^\circ - \angle(\vec{AC}, \vec{AB})$.

Угол между $\vec{AC}$ и $\vec{BA}$ равен $180^\circ - 75^\circ = 105^\circ$.

Ответ: $105^\circ$

103. В ромбе MNPK $\angle M = 60^\circ$, O – точка пересечения диагоналей (рисунок 78). Найдите угол между векторами:

а) $\vec{MN}$ и $\vec{NP}$;

б) $\vec{MK}$ и $\vec{PK}$;

в) $\vec{MN}$ и $\vec{PK}$;

г) $\vec{MK}$ и $\vec{NP}$;

д) $\vec{NO}$ и $\vec{PO}$.

Рисунок 78

Дано:

Ромб $MNPK$.

$\angle M = 60^\circ$.

$O$ — точка пересечения диагоналей.

Найти:

а) угол между векторами $\vec{MN}$ и $\vec{NP}$

б) угол между векторами $\vec{MK}$ и $\vec{PK}$

в) угол между векторами $\vec{MN}$ и $\vec{PK}$

г) угол между векторами $\vec{MK}$ и $\vec{NP}$

д) угол между векторами $\vec{NO}$ и $\vec{PO}$

Решение:

Воспользуемся свойствами ромба:

• Все стороны ромба равны. Обозначим длину стороны за $s$. Таким образом, $MN = NP = PK = KM = s$.

• Противолежащие углы ромба равны, а сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна $180^\circ$. Так как $\angle M = 60^\circ$, то:

  • $\angle P = \angle M = 60^\circ$ (противолежащие углы).

  • $\angle N = 180^\circ - \angle M = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$ (прилежащие к стороне $MN$).

  • $\angle K = \angle N = 120^\circ$ (противолежащие углы).

• Диагонали ромба взаимно перпендикулярны.

• Диагонали ромба делят его углы пополам.

• Векторный угол между двумя векторами определяется как наименьший угол ($0^\circ \le \phi \le 180^\circ$) между ними, когда их начальные точки совмещены.

а) $\vec{MN}$ и $\vec{NP}$

Вектор $\vec{MN}$ направлен от $M$ к $N$. Вектор $\vec{NP}$ направлен от $N$ к $P$. Чтобы найти угол между ними, совместим их начальные точки. Перенесем вектор $\vec{NP}$ так, чтобы его начальная точка совпала с $M$. В ромбе $MNPK$ стороны $NP$ и $MK$ параллельны и имеют одинаковую длину, поэтому $\vec{NP} = \vec{MK}$.

Таким образом, мы ищем угол между векторами $\vec{MN}$ и $\vec{MK}$. Их начальная точка $M$ общая. Угол между ними — это угол $\angle NMK$, который является углом ромба при вершине $M$.

$\angle NMK = \angle M = 60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$

б) $\vec{MK}$ и $\vec{PK}$

Вектор $\vec{MK}$ направлен от $M$ к $K$. Вектор $\vec{PK}$ направлен от $P$ к $K$. Чтобы найти угол между ними, совместим их начальные точки. Удобно взять точку $K$ как общую начальную точку. Тогда мы будем искать угол между векторами $\vec{KM}$ и $\vec{KP}$. Угол между ними — это угол $\angle MKP$, который является углом ромба при вершине $K$.

$\angle MKP = \angle K = 120^\circ$.

Ответ: $120^\circ$

в) $\vec{MN}$ и $\vec{PK}$

Вектор $\vec{MN}$ направлен от $M$ к $N$. Вектор $\vec{PK}$ направлен от $P$ к $K$. В ромбе $MNPK$ стороны $MN$ и $PK$ являются противолежащими сторонами.

Согласно обозначению вершин $M, N, P, K$ по часовой или против часовой стрелки: $\vec{MN}$ и $\vec{PK}$ направлены противоположно друг другу ($\vec{MN} = -\vec{PK}$). Например, если $\vec{MN}$ направлен "вверх", то $\vec{PK}$ направлен "вниз".

Угол между противоположно направленными векторами равен $180^\circ$.

Ответ: $180^\circ$

г) $\vec{MK}$ и $\vec{NP}$

Вектор $\vec{MK}$ направлен от $M$ к $K$. Вектор $\vec{NP}$ направлен от $N$ к $P$. В ромбе $MNPK$ стороны $MK$ и $NP$ являются противолежащими сторонами.

Согласно обозначению вершин $M, N, P, K$ по часовой или против часовой стрелки: $\vec{MK}$ и $\vec{NP}$ направлены в одну и ту же сторону ($\vec{MK} = \vec{NP}$). Например, если $\vec{MK}$ направлен "вправо", то $\vec{NP}$ также направлен "вправо".

Угол между сонаправленными векторами равен $0^\circ$.

Ответ: $0^\circ$

д) $\vec{NO}$ и $\vec{PO}$

Вектор $\vec{NO}$ лежит на диагонали $NK$. Вектор $\vec{PO}$ лежит на диагонали $MP$. Точка $O$ является точкой пересечения диагоналей.

Известно, что диагонали ромба взаимно перпендикулярны. Следовательно, диагонали $NK$ и $MP$ перпендикулярны.

Векторы $\vec{NO}$ и $\vec{PO}$ начинаются от точек $N$ и $P$ соответственно и направлены к точке $O$. Если их начальные точки совместить в $O$, то мы будем искать угол между векторами $\vec{ON}$ и $\vec{OP}$. Поскольку диагонали перпендикулярны, угол $\angle NOP$ равен $90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$

104. Даны векторы $ \vec{a} = 2\vec{i} - \vec{j} $, $ \vec{b} = -3\vec{i} + 4\vec{j} $ и $ \vec{c} = 1,5\vec{i} - 0,2\vec{j} $.

Найдите:
а) скалярное произведение векторов $ \vec{a} $ и $ \vec{b} $;
б) скалярный квадрат вектора $ \vec{c} $.

Дано:

$ \vec{a} = 2\vec{i} - \vec{j} $

$ \vec{b} = -3\vec{i} + 4\vec{j} $

$ \vec{c} = 1.5\vec{i} - 0.2\vec{j} $

Найти:

a) $ \vec{a} \cdot \vec{b} $

б) $ \vec{c}^2 $

Решение:

a) скалярное произведение векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$

Скалярное произведение двух векторов $ \vec{u} = u_x\vec{i} + u_y\vec{j} $ и $ \vec{v} = v_x\vec{i} + v_y\vec{j} $ вычисляется по формуле $ \vec{u} \cdot \vec{v} = u_x v_x + u_y v_y $.Для данных векторов $ \vec{a} = 2\vec{i} - \vec{j} $ (то есть $ u_x = 2, u_y = -1 $) и $ \vec{b} = -3\vec{i} + 4\vec{j} $ (то есть $ v_x = -3, v_y = 4 $):

$ \vec{a} \cdot \vec{b} = (2)(-3) + (-1)(4) $

$ \vec{a} \cdot \vec{b} = -6 - 4 $

$ \vec{a} \cdot \vec{b} = -10 $

Ответ: $ -10 $

б) скалярный квадрат вектора $c$

Скалярный квадрат вектора $ \vec{u} = u_x\vec{i} + u_y\vec{j} $ вычисляется как скалярное произведение вектора на самого себя: $ \vec{u}^2 = \vec{u} \cdot \vec{u} = u_x^2 + u_y^2 $.Для данного вектора $ \vec{c} = 1.5\vec{i} - 0.2\vec{j} $ (то есть $ u_x = 1.5, u_y = -0.2 $):

$ \vec{c}^2 = (1.5)^2 + (-0.2)^2 $

$ \vec{c}^2 = 2.25 + 0.04 $

$ \vec{c}^2 = 2.29 $

Ответ: $ 2.29 $

105. Найдите произведение $(3\vec{i} + 2\vec{j})(2\vec{a} - \vec{b})$, если $\vec{a}(2; 1)$ и $\vec{b}(-2; 3).

Дано

Даны векторы:

$\vec{a} = (2; 1)$

$\vec{b} = (-2; 3)$

Требуется найти произведение двух векторов, где первый вектор $\vec{V_1} = 3\vec{i} + 2\vec{j}$, а второй вектор $\vec{V_2} = 2\vec{a} - \vec{b}$.

Вектор $\vec{V_1}$ в координатной форме: $\vec{V_1} = (3; 2)$.

Найти

Произведение $(3\vec{i} + 2\vec{j})(2\vec{a} - \vec{b})$ (скалярное произведение).

Решение

Сначала найдем координаты вектора $\vec{V_2} = 2\vec{a} - \vec{b}$.

Умножим вектор $\vec{a}$ на скаляр 2:

$2\vec{a} = 2 \cdot (2; 1) = (2 \cdot 2; 2 \cdot 1) = (4; 2)$

Теперь вычтем из полученного вектора вектор $\vec{b}$:

$2\vec{a} - \vec{b} = (4; 2) - (-2; 3)$

Вычитание векторов выполняется путем вычитания их соответствующих координат:

$2\vec{a} - \vec{b} = (4 - (-2); 2 - 3) = (4 + 2; -1) = (6; -1)$

Итак, вектор $\vec{V_2} = (6; -1)$.

Теперь найдем скалярное произведение векторов $\vec{V_1} = (3; 2)$ и $\vec{V_2} = (6; -1)$.

Скалярное произведение двух векторов $\vec{U} = (U_x; U_y)$ и $\vec{W} = (W_x; W_y)$ определяется как $U_x W_x + U_y W_y$.

Произведение $(3\vec{i} + 2\vec{j})(2\vec{a} - \vec{b}) = \vec{V_1} \cdot \vec{V_2} = (3)(6) + (2)(-1)$

$= 18 - 2$

$= 16$

Ответ:

$16$

106. Даны точки A(-4; -4), B(-2; 4), C(6; 6), D(4; -2) и середины отрезков AC и CD точки M и N – соответственно. Найдите скалярное произведение векторов:
а) $ \vec{AB} $ и $ \vec{BC} $;
б) $ \vec{AC} $ и $ \vec{BD} $;
в) $ \vec{MC} $ и $ \vec{AN} $.

Дано

Координаты точек: $A(-4; -4)$, $B(-2; 4)$, $C(6; 6)$, $D(4; -2)$.

Точка $M$ – середина отрезка $AC$.

Точка $N$ – середина отрезка $CD$.

Найти

Скалярные произведения векторов:

a) $\vec{AB}$ и $\vec{BC}$

б) $\vec{AC}$ и $\vec{BD}$

в) $\vec{MC}$ и $\vec{AN}$

Решение

Сначала найдем координаты середин отрезков $M$ и $N$. Координаты середины отрезка $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$ вычисляются по формуле $\left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\right)$.

Для точки $M$ (середина $AC$):

$M_x = \frac{-4+6}{2} = \frac{2}{2} = 1$

$M_y = \frac{-4+6}{2} = \frac{2}{2} = 1$

Таким образом, $M(1; 1)$.

Для точки $N$ (середина $CD$):

$N_x = \frac{6+4}{2} = \frac{10}{2} = 5$

$N_y = \frac{6+(-2)}{2} = \frac{4}{2} = 2$

Таким образом, $N(5; 2)$.

Далее найдем координаты всех необходимых векторов. Координаты вектора $\vec{PQ}$ из точки $P(x_P, y_P)$ в точку $Q(x_Q, y_Q)$ вычисляются как $(x_Q - x_P, y_Q - y_P)$.

а) $\vec{AB}$ и $\vec{BC}$

Вектор $\vec{AB}$: $B(-2; 4)$, $A(-4; -4)$

$\vec{AB} = (-2 - (-4); 4 - (-4)) = (2; 8)$

Вектор $\vec{BC}$: $C(6; 6)$, $B(-2; 4)$

$\vec{BC} = (6 - (-2); 6 - 4) = (8; 2)$

Скалярное произведение векторов $\vec{a}=(a_x, a_y)$ и $\vec{b}=(b_x, b_y)$ равно $a_x b_x + a_y b_y$.

$\vec{AB} \cdot \vec{BC} = (2)(8) + (8)(2) = 16 + 16 = 32$

Ответ: $32$

б) $\vec{AC}$ и $\vec{BD}$

Вектор $\vec{AC}$: $C(6; 6)$, $A(-4; -4)$

$\vec{AC} = (6 - (-4); 6 - (-4)) = (10; 10)$

Вектор $\vec{BD}$: $D(4; -2)$, $B(-2; 4)$

$\vec{BD} = (4 - (-2); -2 - 4) = (6; -6)$

Скалярное произведение:

$\vec{AC} \cdot \vec{BD} = (10)(6) + (10)(-6) = 60 - 60 = 0$

Ответ: $0$

в) $\vec{MC}$ и $\vec{AN}$

Вектор $\vec{MC}$: $C(6; 6)$, $M(1; 1)$

$\vec{MC} = (6 - 1; 6 - 1) = (5; 5)$

Вектор $\vec{AN}$: $N(5; 2)$, $A(-4; -4)$

$\vec{AN} = (5 - (-4); 2 - (-4)) = (9; 6)$

Скалярное произведение:

$\vec{MC} \cdot \vec{AN} = (5)(9) + (5)(6) = 45 + 30 = 75$

Ответ: $75$

107. Найдите скалярное произведение векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$, если:

a)

$|\vec{a}|=|\vec{b}|=6, \angle(\vec{a}, \vec{b})=60^{\circ}$;

б)

$|\vec{a}|=5, |\vec{b}|=2\sqrt{3}, \angle(\vec{a}, \vec{b})=150^{\circ}$.

а)

Дано:

$|\vec{a}| = 6$

$|\vec{b}| = 6$

$\angle(\vec{a}, \vec{b}) = 60^\circ$

Найти:

$\vec{a} \cdot \vec{b}$

Решение:

Скалярное произведение двух векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ определяется формулой:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\angle(\vec{a}, \vec{b}))$

Подставим известные значения:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 6 \cdot 6 \cdot \cos(60^\circ)$

Известно, что $\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$.

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 36 \cdot \frac{1}{2}$

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 18$

Ответ: 18

б)

Дано:

$|\vec{a}| = 5$

$|\vec{b}| = 2\sqrt{3}$

$\angle(\vec{a}, \vec{b}) = 150^\circ$

Найти:

$\vec{a} \cdot \vec{b}$

Решение:

Используем ту же формулу для скалярного произведения:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\angle(\vec{a}, \vec{b}))$

Подставим известные значения:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 5 \cdot 2\sqrt{3} \cdot \cos(150^\circ)$

Известно, что $\cos(150^\circ) = \cos(180^\circ - 30^\circ) = -\cos(30^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 10\sqrt{3} \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$

$\vec{a} \cdot \vec{b} = -\frac{10 \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{2}$

$\vec{a} \cdot \vec{b} = -\frac{10 \cdot 3}{2}$

$\vec{a} \cdot \vec{b} = -\frac{30}{2}$

$\vec{a} \cdot \vec{b} = -15$

Ответ: -15

108. В равностороннем $\Delta MNP$ точка $K$ – середина стороны $MP$, причем $MP = 4$. Найдите скалярное произведение векторов:

а) $\vec{MN}$ и $\vec{KP}$;

б) $\vec{MK}$ и $\vec{NK}$;

в) $\vec{MP}$ и $\vec{PK}$;

г) $\vec{MN}$ и $\vec{NK}$.

Дано:

Равносторонний $\triangle MNP$.

Точка $K$ - середина стороны $MP$.

$MP = 4$.

Перевод в СИ:

Данные не требуют перевода в СИ, так как это геометрическая задача с относительными единицами длины. Длина стороны $MP = 4$ единицы.

Так как $\triangle MNP$ равносторонний, то $MN = NP = MP = 4$.

Так как $K$ - середина $MP$, то $MK = KP = MP/2 = 4/2 = 2$.

В равностороннем треугольнике медиана $NK$ является также высотой, поэтому $NK \perp MP$.

Длину высоты $NK$ можно найти по теореме Пифагора в прямоугольном $\triangle NKP$ (или $\triangle NKM$):

$NK = \sqrt{NP^2 - KP^2} = \sqrt{4^2 - 2^2} = \sqrt{16 - 4} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$.

Найти:

а) Скалярное произведение векторов $\overrightarrow{MN}$ и $\overrightarrow{KP}$.

б) Скалярное произведение векторов $\overrightarrow{MK}$ и $\overrightarrow{NK}$.

в) Скалярное произведение векторов $\overrightarrow{MP}$ и $\overrightarrow{PK}$.

г) Скалярное произведение векторов $\overrightarrow{MN}$ и $\overrightarrow{NK}$.

Решение:

Скалярное произведение двух векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ определяется как $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos \theta$, где $\theta$ - угол между векторами.

а) MN и KP

Длины векторов: $|\overrightarrow{MN}| = MN = 4$, $|\overrightarrow{KP}| = KP = 2$.

Вектор $\overrightarrow{KP}$ лежит на стороне $MP$ и направлен от $K$ к $P$. Вектор $\overrightarrow{MP}$ направлен от $M$ к $P$. Так как $K$ - середина $MP$, $\overrightarrow{KP}$ сонаправлен с $\overrightarrow{MP}$.

Угол между $\overrightarrow{MN}$ и $\overrightarrow{MP}$ в равностороннем треугольнике равен $\angle NMP = 60^\circ$.

Следовательно, угол между $\overrightarrow{MN}$ и $\overrightarrow{KP}$ также равен $60^\circ$.

$\overrightarrow{MN} \cdot \overrightarrow{KP} = |\overrightarrow{MN}| |\overrightarrow{KP}| \cos(60^\circ) = 4 \cdot 2 \cdot \frac{1}{2} = 4$.

Ответ: 4

б) MK и NK

Длины векторов: $|\overrightarrow{MK}| = MK = 2$, $|\overrightarrow{NK}| = NK = 2\sqrt{3}$.

Вектор $\overrightarrow{MK}$ лежит на стороне $MP$ и направлен от $M$ к $K$.

Вектор $\overrightarrow{NK}$ является медианой и, следовательно, высотой в равностороннем $\triangle MNP$. Поэтому $NK \perp MP$.

Угол между $\overrightarrow{MK}$ и $\overrightarrow{NK}$ равен $90^\circ$ (так как $NK \perp MP$, а $\overrightarrow{MK}$ лежит на $MP$).

$\overrightarrow{MK} \cdot \overrightarrow{NK} = |\overrightarrow{MK}| |\overrightarrow{NK}| \cos(90^\circ) = 2 \cdot 2\sqrt{3} \cdot 0 = 0$.

Ответ: 0

в) MP и PK

Длины векторов: $|\overrightarrow{MP}| = MP = 4$, $|\overrightarrow{PK}| = PK = 2$.

Вектор $\overrightarrow{MP}$ направлен от $M$ к $P$.

Вектор $\overrightarrow{PK}$ направлен от $P$ к $K$.

Эти векторы лежат на одной прямой, но направлены в противоположные стороны. Угол между ними равен $180^\circ$.

$\overrightarrow{MP} \cdot \overrightarrow{PK} = |\overrightarrow{MP}| |\overrightarrow{PK}| \cos(180^\circ) = 4 \cdot 2 \cdot (-1) = -8$.

Ответ: -8

г) MN и NK

Длины векторов: $|\overrightarrow{MN}| = MN = 4$, $|\overrightarrow{NK}| = NK = 2\sqrt{3}$.

Для определения угла между $\overrightarrow{MN}$ и $\overrightarrow{NK}$ рассмотрим $\triangle MNK$.

В $\triangle MNP$, $NK$ - высота и биссектриса угла $\angle MNP$. Следовательно, $\angle KNM = \frac{1}{2} \angle MNP = \frac{1}{2} \cdot 60^\circ = 30^\circ$.

Таким образом, угол между векторами $\overrightarrow{MN}$ и $\overrightarrow{NK}$ равен $30^\circ$.

$\overrightarrow{MN} \cdot \overrightarrow{NK} = |\overrightarrow{MN}| |\overrightarrow{NK}| \cos(30^\circ) = 4 \cdot 2\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 8\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4 \cdot (\sqrt{3})^2 = 4 \cdot 3 = 12$.

Ответ: 12

109. Найдите угол между векторами $\vec{a}(-4; 0)$ и $\vec{b}(4; -4)$.

Дано

Вектор $ \vec{a} = (-4; 0) $
Вектор $ \vec{b} = (4; -4) $

Найти

Угол $ \theta $ между векторами $ \vec{a} $ и $ \vec{b} $.

Решение

Для нахождения угла $ \theta $ между двумя векторами $ \vec{a} $ и $ \vec{b} $ используется формула: $ \cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|} $ где $ \vec{a} \cdot \vec{b} $ - скалярное произведение векторов, а $ |\vec{a}| $ и $ |\vec{b}| $ - модули (длины) векторов.

1. Вычислим скалярное произведение векторов $ \vec{a} $ и $ \vec{b} $: $ \vec{a} \cdot \vec{b} = a_x b_x + a_y b_y $ $ \vec{a} \cdot \vec{b} = (-4) \cdot 4 + 0 \cdot (-4) $ $ \vec{a} \cdot \vec{b} = -16 + 0 $ $ \vec{a} \cdot \vec{b} = -16 $

2. Вычислим модуль вектора $ \vec{a} $: $ |\vec{a}| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2} $ $ |\vec{a}| = \sqrt{(-4)^2 + 0^2} $ $ |\vec{a}| = \sqrt{16 + 0} $ $ |\vec{a}| = \sqrt{16} $ $ |\vec{a}| = 4 $

3. Вычислим модуль вектора $ \vec{b} $: $ |\vec{b}| = \sqrt{b_x^2 + b_y^2} $ $ |\vec{b}| = \sqrt{4^2 + (-4)^2} $ $ |\vec{b}| = \sqrt{16 + 16} $ $ |\vec{b}| = \sqrt{32} $ $ |\vec{b}| = \sqrt{16 \cdot 2} $ $ |\vec{b}| = 4\sqrt{2} $

4. Подставим полученные значения в формулу для косинуса угла: $ \cos \theta = \frac{-16}{4 \cdot 4\sqrt{2}} $ $ \cos \theta = \frac{-16}{16\sqrt{2}} $ $ \cos \theta = -\frac{1}{\sqrt{2}} $ $ \cos \theta = -\frac{\sqrt{2}}{2} $

5. Найдем угол $ \theta $: $ \theta = \arccos\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) $ Из таблицы значений косинуса известно, что $ \arccos\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = 135^\circ $ или $ \frac{3\pi}{4} $ радиан.

Ответ:

Угол между векторами $ \vec{a} $ и $ \vec{b} $ равен $ 135^\circ $.