Страница 49 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

ВОПРОСЫ.

1. Дайте определение понятия угла между векторами.

2. Что называется скалярным произведением двух векторов?

3. Чему равен скалярный квадрат вектора?

4. Перечислите свойства скалярного произведения двух векторов.

5. Сформулируйте условие перпендикулярности двух векторов.

6. При каком условии скалярное произведение двух векторов равно:

а) отрицательному числу;

б) положительному числу?

1. Дайте определение понятия угла между векторами.

Углом между двумя ненулевыми векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$ называется наименьший угол $\phi$ (измеряемый в радианах или градусах), на который нужно повернуть один из векторов вокруг их общего начала до совпадения с направлением другого вектора. Этот угол всегда находится в диапазоне от $0$ до $\pi$ радиан (или от $0^\circ$ до $180^\circ$).

Ответ:

2. Что называется скалярным произведением двух векторов?

Скалярным произведением двух векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ называется число (скаляр), равное произведению длин этих векторов на косинус угла $\phi$ между ними. Если хотя бы один из векторов нулевой, то их скалярное произведение считается равным нулю.

Формула скалярного произведения:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos \phi$

где $|\vec{a}|$ и $|\vec{b}|$ - длины (модули) векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ соответственно, а $\phi$ - угол между ними.

Ответ:

3. Чему равен скалярный квадрат вектора?

Скалярным квадратом вектора $\vec{a}$ называется скалярное произведение вектора на самого себя.

$\vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}| \cdot |\vec{a}| \cdot \cos 0^\circ = |\vec{a}|^2 \cdot 1 = |\vec{a}|^2$

Таким образом, скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины (модуля).

Ответ:

4. Перечислите свойства скалярного произведения двух векторов.

Основные свойства скалярного произведения двух векторов $\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\vec{c}$ (для произвольного скаляра $k$):
1. Коммутативность (переместительное свойство): $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}$
2. Дистрибутивность (распределительное свойство) относительно сложения: $(\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{c} = \vec{a} \cdot \vec{c} + \vec{b} \cdot \vec{c}$
3. Сочетательное свойство относительно умножения на скаляр: $(k\vec{a}) \cdot \vec{b} = \vec{a} \cdot (k\vec{b}) = k(\vec{a} \cdot \vec{b})$
4. Скалярный квадрат неотрицателен: $\vec{a} \cdot \vec{a} \ge 0$. Причем $\vec{a} \cdot \vec{a} = 0$ тогда и только тогда, когда $\vec{a} = \vec{0}$ (нулевой вектор).
5. Если $\vec{a} \ne \vec{0}$ и $\vec{b} \ne \vec{0}$, то $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ тогда и только тогда, когда $\vec{a} \perp \vec{b}$ (векторы перпендикулярны).

Ответ:

5. Сформулируйте условие перпендикулярности двух векторов.

Два ненулевых вектора $\vec{a}$ и $\vec{b}$ перпендикулярны (ортогональны) тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю.

Математически это условие записывается как: $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$.

Это следует из формулы скалярного произведения: $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos \phi$. Если $\vec{a} \perp \vec{b}$, то $\phi = 90^\circ$ или $\phi = \pi/2$ радиан. Косинус $90^\circ$ равен нулю ($\cos 90^\circ = 0$). Следовательно, произведение будет равно нулю. И наоборот, если скалярное произведение ненулевых векторов равно нулю, то $\cos \phi = 0$, что означает $\phi = 90^\circ$.

Ответ:

6. При каком условии скалярное произведение двух векторов равно:

Для ненулевых векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ скалярное произведение определяется как $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos \phi$. Поскольку длины векторов $|\vec{a}|$ и $|\vec{b}|$ всегда положительны, знак скалярного произведения определяется знаком $\cos \phi$.

а) отрицательному числу?

Скалярное произведение $\vec{a} \cdot \vec{b}$ будет отрицательным, если $\cos \phi < 0$. Это происходит, когда угол $\phi$ между векторами тупой, то есть $\pi/2 < \phi \le \pi$ (или $90^\circ < \phi \le 180^\circ$).

Ответ:

б) положительному числу?

Скалярное произведение $\vec{a} \cdot \vec{b}$ будет положительным, если $\cos \phi > 0$. Это происходит, когда угол $\phi$ между векторами острый, то есть $0 \le \phi < \pi/2$ (или $0^\circ \le \phi < 90^\circ$).

Ответ: