Страница 44 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

ровель А

85. Найдите координаты вектора $\overrightarrow{AB}$, если:

а) $A(2; 9)$, $B(7; 4)$;

б) $A(7,4; 0)$, $B(-12,6; 14)$.

а)

Дано:

Точка A($x_A; y_A$) = A(2; 9)

Точка B($x_B; y_B$) = B(7; 4)

Найти:

Координаты вектора $\vec{AB}$

Решение:

Для нахождения координат вектора $\vec{AB}$, если известны координаты его начальной точки A($x_A; y_A$) и конечной точки B($x_B; y_B$), используется следующая формула:

$\vec{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A)$

Подставим значения координат точек A и B в формулу:

$\vec{AB} = (7 - 2; 4 - 9)$

Выполним вычисления:

$\vec{AB} = (5; -5)$

Ответ: (5; -5)

б)

Дано:

Точка A($x_A; y_A; z_A$) = A(7; 4; 0)

Точка B($x_B; y_B; z_B$) = B(-12; 6; 14)

Найти:

Координаты вектора $\vec{AB}$

Решение:

Для нахождения координат вектора $\vec{AB}$ в трехмерном пространстве, если известны координаты его начальной точки A($x_A; y_A; z_A$) и конечной точки B($x_B; y_B; z_B$), используется следующая формула:

$\vec{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A; z_B - z_A)$

Подставим значения координат точек A и B в формулу:

$\vec{AB} = (-12 - 7; 6 - 4; 14 - 0)$

Выполним вычисления:

$\vec{AB} = (-19; 2; 14)$

Ответ: (-19; 2; 14)

86. Найдите координаты конца вектора $\vec{AB}$, если:

а) $\vec{AB}(2;-2)$, $A(2;5)$;

б) $\vec{AB}(-1,5;4)$, $A(3;-2,5)$.

Дано:

В задаче даны координаты вектора $\vec{AB}$ и координаты его начальной точки A.

Найти:

Координаты конца вектора B.

Решение

Пусть координаты точки A равны $(x_A; y_A)$, а координаты точки B равны $(x_B; y_B)$. Координаты вектора $\vec{AB}$ обозначаются как $(x_{AB}; y_{AB})$. Формула для нахождения координат вектора, зная координаты его начала и конца, следующая: $x_{AB} = x_B - x_A$ $y_{AB} = y_B - y_A$ Из этих формул можно выразить координаты конца вектора B: $x_B = x_A + x_{AB}$ $y_B = y_A + y_{AB}$

а)

Дано:

Координаты вектора $\vec{AB}(2; -2)$. Координаты точки $A(2; 5)$.

Найти:

Координаты точки B.

Решение

Используем выведенные выше формулы для координат точки B: $x_B = x_A + x_{AB} = 2 + 2 = 4$ $y_B = y_A + y_{AB} = 5 + (-2) = 5 - 2 = 3$

Ответ:

$B(4; 3)$

б)

Дано:

Координаты вектора $\vec{AB}(-1,5; 4)$. Координаты точки $A(3; -2,5)$.

Найти:

Координаты точки B.

Решение

Используем выведенные выше формулы для координат точки B: $x_B = x_A + x_{AB} = 3 + (-1,5) = 3 - 1,5 = 1,5$ $y_B = y_A + y_{AB} = -2,5 + 4 = 1,5$

Ответ:

$B(1,5; 1,5)$

87. Найдите неизвестную координату начала вектора $\vec{AB}$, если:

a) $|\vec{AB}| = 5$, $B(-1; 3)$, $A(3; y)$.

б) $|\vec{AB}| = 17$, $B(8; -2)$, $A(x; 13)$.

a)

Дано:

$|\vec{AB}| = 5$
$B = (-1; 3)$
$A = (3; y)$

Найти:

$y$

Решение:

Для начала найдем координаты вектора $\vec{AB}$. Координаты вектора определяются как разность координат его конца и начала. Пусть $A = (x_A; y_A)$ и $B = (x_B; y_B)$. Тогда $\vec{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A)$.
В нашем случае $A = (3; y)$ и $B = (-1; 3)$.
Координаты вектора $\vec{AB}$ будут:
$\vec{AB} = (-1 - 3; 3 - y) = (-4; 3 - y)$

Модуль (длина) вектора $\vec{AB}$ вычисляется по формуле $|\vec{AB}| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$.
Нам дано, что $|\vec{AB}| = 5$. Подставим известные значения в формулу:
$5 = \sqrt{(-4)^2 + (3 - y)^2}$
Возведем обе стороны уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня:
$5^2 = (-4)^2 + (3 - y)^2$
$25 = 16 + (3 - y)^2$

Выразим $(3 - y)^2$:
$(3 - y)^2 = 25 - 16$
$(3 - y)^2 = 9$

Извлечем квадратный корень из обеих частей. При этом нужно учесть два возможных значения: положительное и отрицательное:
$3 - y = \pm \sqrt{9}$
$3 - y = \pm 3$

Рассмотрим два случая:

Случай 1: $3 - y = 3$
$y = 3 - 3$
$y = 0$

Случай 2: $3 - y = -3$
$y = 3 - (-3)$
$y = 3 + 3$
$y = 6$

Ответ: $y = 0$ или $y = 6$.

б)

Дано:

$|\vec{AB}| = 17$
$B = (8; -2)$
$A = (x; 13)$

Найти:

$x$

Решение:

Найдем координаты вектора $\vec{AB}$.
$A = (x; 13)$ и $B = (8; -2)$.
Координаты вектора $\vec{AB}$ будут:
$\vec{AB} = (8 - x; -2 - 13) = (8 - x; -15)$

Модуль (длина) вектора $\vec{AB}$ вычисляется по формуле $|\vec{AB}| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$.
Нам дано, что $|\vec{AB}| = 17$. Подставим известные значения в формулу:
$17 = \sqrt{(8 - x)^2 + (-15)^2}$
Возведем обе стороны уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня:
$17^2 = (8 - x)^2 + (-15)^2$
$289 = (8 - x)^2 + 225$

Выразим $(8 - x)^2$:
$(8 - x)^2 = 289 - 225$
$(8 - x)^2 = 64$

Извлечем квадратный корень из обеих частей. При этом нужно учесть два возможных значения: положительное и отрицательное:
$8 - x = \pm \sqrt{64}$
$8 - x = \pm 8$

Рассмотрим два случая:

Случай 1: $8 - x = 8$
$x = 8 - 8$
$x = 0$

Случай 2: $8 - x = -8$
$x = 8 - (-8)$
$x = 8 + 8$
$x = 16$

Ответ: $x = 0$ или $x = 16$.

88. a) Найдите длины векторов $\vec{a}(4; -3)$, $\vec{b}(15; 0)$, $\vec{c}(1; \sqrt{3})$, $\vec{d}(-0,5; 1,2)$.

б) Даны векторы $\vec{a}(2; -1)$, $\vec{b}(-3; -5)$. Найдите координаты векторов $\vec{m}$ и $\vec{n}$, если $\vec{m} = \vec{a} - \vec{b}$ и $\vec{n} = 3\vec{a} + 2\vec{b}$.

в) Даны векторы $\vec{a}(6; 8)$, $\vec{b}(9; 12)$. Найдите длины векторов $\vec{c}$ и $\vec{d}$, если $\vec{c} = \vec{b} - \vec{a}$, $\vec{d} = \frac{1}{2}\vec{a} + \frac{1}{3}\vec{b}$.

a)

Дано:
векторы $\vec{a}(4; -3)$, $\vec{b}(15; 0)$, $\vec{c}(1; \sqrt{3})$, $\vec{d}(-0,5; 1,2)$.

Перевод в СИ:
Перевод в систему СИ не требуется, так как координаты векторов являются безразмерными величинами.

Найти:
длины векторов $|\vec{a}|$, $|\vec{b}|$, $|\vec{c}|$, $|\vec{d}|$.

Решение:
Длина вектора $\vec{v}(x; y)$ вычисляется по формуле $|\vec{v}| = \sqrt{x^2 + y^2}$.
Для вектора $\vec{a}(4; -3)$: $|\vec{a}| = \sqrt{4^2 + (-3)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$.
Для вектора $\vec{b}(15; 0)$: $|\vec{b}| = \sqrt{15^2 + 0^2} = \sqrt{225 + 0} = \sqrt{225} = 15$.
Для вектора $\vec{c}(1; \sqrt{3})$: $|\vec{c}| = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2$.
Для вектора $\vec{d}(-0,5; 1,2)$: $|\vec{d}| = \sqrt{(-0,5)^2 + (1,2)^2} = \sqrt{0,25 + 1,44} = \sqrt{1,69} = 1,3$.

Ответ: $|\vec{a}|=5$, $|\vec{b}|=15$, $|\vec{c}|=2$, $|\vec{d}|=1,3$.

б)

Дано:
векторы $\vec{a}(2; -1)$, $\vec{b}(-3; -5)$.
$\vec{m} = \vec{a} - \vec{b}$
$\vec{n} = 3\vec{a} + 2\vec{b}$

Перевод в СИ:
Перевод в систему СИ не требуется.

Найти:
координаты векторов $\vec{m}$ и $\vec{n}$.

Решение:
Для нахождения вектора $\vec{m} = \vec{a} - \vec{b}$ вычтем соответствующие координаты:
$\vec{m} = (2 - (-3); -1 - (-5)) = (2 + 3; -1 + 5) = (5; 4)$.
Для нахождения вектора $\vec{n} = 3\vec{a} + 2\vec{b}$ сначала выполним умножение векторов на скаляры:
$3\vec{a} = (3 \cdot 2; 3 \cdot (-1)) = (6; -3)$.
$2\vec{b} = (2 \cdot (-3); 2 \cdot (-5)) = (-6; -10)$.
Теперь сложим полученные векторы:
$\vec{n} = (6 + (-6); -3 + (-10)) = (6 - 6; -3 - 10) = (0; -13)$.

Ответ: $\vec{m}(5; 4)$, $\vec{n}(0; -13)$.

в)

Дано:
векторы $\vec{a}(6; 8)$, $\vec{b}(9; 12)$.
$\vec{c} = \vec{b} - \vec{a}$
$\vec{d} = \frac{1}{2}\vec{a} + \frac{1}{3}\vec{b}$

Перевод в СИ:
Перевод в систему СИ не требуется.

Найти:
длины векторов $|\vec{c}|$ и $|\vec{d}|$.

Решение:
Сначала найдем координаты вектора $\vec{c} = \vec{b} - \vec{a}$:
$\vec{c} = (9 - 6; 12 - 8) = (3; 4)$.
Теперь найдем длину вектора $\vec{c}$:
$|\vec{c}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.
Теперь найдем координаты вектора $\vec{d} = \frac{1}{2}\vec{a} + \frac{1}{3}\vec{b}$. Сначала умножим векторы на скаляры:
$\frac{1}{2}\vec{a} = (\frac{1}{2} \cdot 6; \frac{1}{2} \cdot 8) = (3; 4)$.
$\frac{1}{3}\vec{b} = (\frac{1}{3} \cdot 9; \frac{1}{3} \cdot 12) = (3; 4)$.
Теперь сложим полученные векторы:
$\vec{d} = (3 + 3; 4 + 4) = (6; 8)$.
Теперь найдем длину вектора $\vec{d}$:
$|\vec{d}| = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$.

Ответ: $|\vec{c}|=5$, $|\vec{d}|=10$.

89. Даны векторы $\vec{a} (3; -4)$, $\vec{b} (-4; 2)$, $\vec{c} (1.5; -2)$, $\vec{d} (6; -3)$. Укажите пары коллинеарных векторов. Какие из них одинаково направленные, а какие – противоположно направленные?

Дано:

$\vec{a} (3; -4)$

$\vec{b} (-4; 2)$

$\vec{c} (1.5; -2)$

$\vec{d} (6; -3)$

Найти:

Пары коллинеарных векторов.

Какие из них одинаково направленные.

Какие из них противоположно направленные.

Решение:

Два ненулевых вектора $\vec{u}(x_u; y_u)$ и $\vec{v}(x_v; y_v)$ коллинеарны, если существует такое число $k \neq 0$, что $\vec{v} = k\vec{u}$. Это означает, что $x_v = kx_u$ и $y_v = ky_u$, или что их координаты пропорциональны: $\frac{x_u}{x_v} = \frac{y_u}{y_v}$ (при условии, что соответствующие координаты не равны нулю). Если $k > 0$, векторы одинаково направлены. Если $k < 0$, векторы противоположно направлены.

Проверим все возможные пары векторов:

Пары коллинеарных векторов

1. Для $\vec{a} (3; -4)$ и $\vec{b} (-4; 2)$:

Проверим пропорциональность: $\frac{3}{-4} = -0.75$ и $\frac{-4}{2} = -2$. Так как $-0.75 \neq -2$, векторы не коллинеарны.

2. Для $\vec{a} (3; -4)$ и $\vec{c} (1.5; -2)$:

Проверим пропорциональность: $\frac{3}{1.5} = 2$ и $\frac{-4}{-2} = 2$. Так как отношения равны, векторы коллинеарны. Найдем коэффициент $k$ для $\vec{c} = k\vec{a}$: $1.5 = k \cdot 3 \implies k = 0.5$; $-2 = k \cdot (-4) \implies k = 0.5$.

3. Для $\vec{a} (3; -4)$ и $\vec{d} (6; -3)$:

Проверим пропорциональность: $\frac{3}{6} = 0.5$ и $\frac{-4}{-3} = \frac{4}{3} \approx 1.33$. Так как $0.5 \neq \frac{4}{3}$, векторы не коллинеарны.

4. Для $\vec{b} (-4; 2)$ и $\vec{c} (1.5; -2)$:

Проверим пропорциональность: $\frac{-4}{1.5} = -\frac{8}{3} \approx -2.67$ и $\frac{2}{-2} = -1$. Так как $-\frac{8}{3} \neq -1$, векторы не коллинеарны.

5. Для $\vec{b} (-4; 2)$ и $\vec{d} (6; -3)$:

Проверим пропорциональность: $\frac{-4}{6} = -\frac{2}{3}$ и $\frac{2}{-3} = -\frac{2}{3}$. Так как отношения равны, векторы коллинеарны. Найдем коэффициент $k$ для $\vec{d} = k\vec{b}$: $6 = k \cdot (-4) \implies k = -\frac{6}{4} = -1.5$; $-3 = k \cdot 2 \implies k = -\frac{3}{2} = -1.5$.

6. Для $\vec{c} (1.5; -2)$ и $\vec{d} (6; -3)$:

Проверим пропорциональность: $\frac{1.5}{6} = 0.25$ и $\frac{-2}{-3} = \frac{2}{3} \approx 0.67$. Так как $0.25 \neq \frac{2}{3}$, векторы не коллинеарны.

Ответ: Пары коллинеарных векторов: $\vec{a}$ и $\vec{c}$; $\vec{b}$ и $\vec{d}$.

Одинаково направленные

Векторы одинаково направлены, если коэффициент пропорциональности $k > 0$.

Для пары $\vec{a}$ и $\vec{c}$ мы нашли, что $\vec{c} = 0.5\vec{a}$. Поскольку $k = 0.5 > 0$, векторы $\vec{a}$ и $\vec{c}$ одинаково направлены.

Ответ: Одинаково направленные векторы: $\vec{a}$ и $\vec{c}$.

Противоположно направленные

Векторы противоположно направлены, если коэффициент пропорциональности $k < 0$.

Для пары $\vec{b}$ и $\vec{d}$ мы нашли, что $\vec{d} = -1.5\vec{b}$. Поскольку $k = -1.5 < 0$, векторы $\vec{b}$ и $\vec{d}$ противоположно направлены.

Ответ: Противоположно направленные векторы: $\vec{b}$ и $\vec{d}$.

90. Известно, что векторы $ \vec{m}\left(\frac{1}{2}; \frac{3}{4}\right) $ и $ \vec{n}(-2; y) $ коллинеарны.

Найдите $y$.

Дано:

Векторы $\vec{m}\left(\frac{1}{2}; \frac{3}{4}\right)$ и $\vec{n}(-2; y)$ коллинеарны.

Найти:

Значение $y$.

Решение:

Два вектора $\vec{a}(x_1; y_1)$ и $\vec{b}(x_2; y_2)$ коллинеарны, если их соответствующие координаты пропорциональны, то есть $\frac{x_1}{x_2} = \frac{y_1}{y_2}$, при условии, что $x_2 \neq 0$ и $y_2 \neq 0$.

В данном случае, координаты вектора $\vec{m}$ равны $x_m = \frac{1}{2}$ и $y_m = \frac{3}{4}$.

Координаты вектора $\vec{n}$ равны $x_n = -2$ и $y_n = y$.

Поскольку векторы коллинеарны, составим пропорцию:

$\frac{x_m}{x_n} = \frac{y_m}{y_n}$

Подставим известные значения:

$\frac{\frac{1}{2}}{-2} = \frac{\frac{3}{4}}{y}$

Упростим левую часть уравнения:

$\frac{1}{2} \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{1}{4}$

Теперь уравнение выглядит так:

$-\frac{1}{4} = \frac{\frac{3}{4}}{y}$

Чтобы найти $y$, выразим его из уравнения:

$y = \frac{\frac{3}{4}}{-\frac{1}{4}}$

$y = \frac{3}{4} \cdot \left(-\frac{4}{1}\right)$

$y = -3$

Ответ:

$y = -3$

91. Имеются ли среди векторов $\vec{a} (0; 3)$, $\vec{b} (-5; 0)$ и $\vec{c} (0; -4)$ коллинеарные векторы? Если имеются, то укажите их.

Дано:

Векторы:
$\vec{a}(0; 3)$
$\vec{b}(-5; 0)$
$\vec{c}(0; -4)$

Найти:

Имеются ли среди данных векторов коллинеарные векторы? Если да, то указать их.

Решение:

Два ненулевых вектора $\vec{u}(x_u; y_u)$ и $\vec{v}(x_v; y_v)$ являются коллинеарными, если существует такое число $k \ne 0$, что $\vec{u} = k \cdot \vec{v}$. Это эквивалентно условию пропорциональности их координат: $x_u = k \cdot x_v$ и $y_u = k \cdot y_v$.

Проверим каждую пару векторов:

Проверка коллинеарности векторов $\vec{a}(0; 3)$ и $\vec{b}(-5; 0)$:

Для того чтобы векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ были коллинеарными, должно существовать число $k$ такое, что $\vec{a} = k \cdot \vec{b}$. Это означает, что их соответствующие координаты должны быть пропорциональны:

$0 = k \cdot (-5)$
$3 = k \cdot 0$

Из первого уравнения следует $k = 0$. Подставим $k = 0$ во второе уравнение: $3 = 0 \cdot 0 \implies 3 = 0$, что является ложным утверждением. Следовательно, векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ не являются коллинеарными. Вектор $\vec{a}$ лежит на оси ординат, а вектор $\vec{b}$ лежит на оси абсцисс. Эти оси перпендикулярны, поэтому векторы, лежащие на них, также перпендикулярны (если они не нулевые).

Проверка коллинеарности векторов $\vec{a}(0; 3)$ и $\vec{c}(0; -4)$:

Для того чтобы векторы $\vec{a}$ и $\vec{c}$ были коллинеарными, должно существовать число $k$ такое, что $\vec{a} = k \cdot \vec{c}$. Это означает, что их соответствующие координаты должны быть пропорциональны:

$0 = k \cdot 0$
$3 = k \cdot (-4)$

Из второго уравнения найдем $k$: $k = \frac{3}{-4} = -\frac{3}{4}$.
Так как найдено одно и то же значение $k$ для всех координат (в данном случае, для ненулевых координат), то векторы $\vec{a}$ и $\vec{c}$ являются коллинеарными. Действительно: $\vec{a} = -\frac{3}{4} \vec{c} \implies (0; 3) = (-\frac{3}{4} \cdot 0; -\frac{3}{4} \cdot (-4)) \implies (0; 3) = (0; 3)$.

Проверка коллинеарности векторов $\vec{b}(-5; 0)$ и $\vec{c}(0; -4)$:

Для того чтобы векторы $\vec{b}$ и $\vec{c}$ были коллинеарными, должно существовать число $k$ такое, что $\vec{b} = k \cdot \vec{c}$. Это означает, что их соответствующие координаты должны быть пропорциональны:

$-5 = k \cdot 0$
$0 = k \cdot (-4)$

Из первого уравнения следует $-5 = 0$, что является ложным утверждением. Из второго уравнения следует $k = 0$. Поскольку первое уравнение не имеет решения для $k$, векторы $\vec{b}$ и $\vec{c}$ не являются коллинеарными. Вектор $\vec{b}$ лежит на оси абсцисс, а вектор $\vec{c}$ лежит на оси ординат. Эти оси перпендикулярны, поэтому векторы, лежащие на них, также перпендикулярны.

Вывод:

Среди данных векторов коллинеарными являются векторы $\vec{a}$ и $\vec{c}$.

Ответ:

Среди векторов $\vec{a}(0; 3)$, $\vec{b}(-5; 0)$ и $\vec{c}(0; -4)$ имеются коллинеарные векторы. Это векторы $\vec{a}$ и $\vec{c}$.

92. Даны векторы $\vec{a}(-0.6; 0.8)$, $\vec{b}(-\frac{9}{5}; 2\frac{2}{5})$, $\vec{c}(\frac{4}{5}; -\frac{3}{5})$, $\vec{d}(0.3; -0.4)$.

а) Найдите их длины;

б) укажите пары коллинеарных векторов.

Дано

Даны векторы: $\vec{a}(-0.6; 0.8)$, $\vec{b}(-\frac{9}{5}; 2\frac{2}{5})$, $\vec{c}(\frac{4}{5}; -\frac{3}{5})$, $\vec{d}(0.3; -0.4)$.

Перевод в СИ

Для удобства вычислений приведем координаты всех векторов к десятичному виду:

$\vec{a}(-0.6; 0.8)$

$\vec{b}(-\frac{9}{5}; 2\frac{2}{5}) = (-1.8; 2.4)$

$\vec{c}(\frac{4}{5}; -\frac{3}{5}) = (0.8; -0.6)$

$\vec{d}(0.3; -0.4)$

Найти:

а) длины векторов $|\vec{a}|, |\vec{b}|, |\vec{c}|, |\vec{d}|$.

б) пары коллинеарных векторов.

Решение

а) Найдите их длины;

Длина (модуль) вектора $\vec{v}(x; y)$ вычисляется по формуле $|\vec{v}| = \sqrt{x^2 + y^2}$.

Вычислим длины для каждого вектора:

Длина вектора $\vec{a}(-0.6; 0.8)$:

$|\vec{a}| = \sqrt{(-0.6)^2 + (0.8)^2} = \sqrt{0.36 + 0.64} = \sqrt{1} = 1$

Длина вектора $\vec{b}(-1.8; 2.4)$:

$|\vec{b}| = \sqrt{(-1.8)^2 + (2.4)^2} = \sqrt{3.24 + 5.76} = \sqrt{9} = 3$

Длина вектора $\vec{c}(0.8; -0.6)$:

$|\vec{c}| = \sqrt{(0.8)^2 + (-0.6)^2} = \sqrt{0.64 + 0.36} = \sqrt{1} = 1$

Длина вектора $\vec{d}(0.3; -0.4)$:

$|\vec{d}| = \sqrt{(0.3)^2 + (-0.4)^2} = \sqrt{0.09 + 0.16} = \sqrt{0.25} = 0.5$

Ответ:

$|\vec{a}| = 1$, $|\vec{b}| = 3$, $|\vec{c}| = 1$, $|\vec{d}| = 0.5$.

б) укажите пары коллинеарных векторов.

Два вектора $\vec{u}(x_1; y_1)$ и $\vec{v}(x_2; y_2)$ коллинеарны, если существует такое число $k \neq 0$, что $\vec{u} = k\vec{v}$. Это означает, что их соответствующие координаты пропорциональны: $\frac{x_1}{x_2} = \frac{y_1}{y_2} = k$ (при условии, что $x_2 \neq 0$ и $y_2 \neq 0$). Если одна из координат нулевая, то и соответствующая координата другого вектора должна быть нулевой.

Используем десятичные координаты векторов для проверки:

$\vec{a}(-0.6; 0.8)$

$\vec{b}(-1.8; 2.4)$

$\vec{c}(0.8; -0.6)$

$\vec{d}(0.3; -0.4)$

Проверим все возможные пары векторов на коллинеарность:

1. Векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$:

Сравним отношения соответствующих координат: $\frac{-1.8}{-0.6} = 3$ и $\frac{2.4}{0.8} = 3$.

Так как отношения равны ($k=3$), векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ коллинеарны ($\vec{b} = 3\vec{a}$).

2. Векторы $\vec{a}$ и $\vec{c}$:

Сравним отношения соответствующих координат: $\frac{0.8}{-0.6} = -\frac{4}{3}$ и $\frac{-0.6}{0.8} = -\frac{3}{4}$.

Так как отношения не равны ($-\frac{4}{3} \neq -\frac{3}{4}$), векторы $\vec{a}$ и $\vec{c}$ не коллинеарны.

3. Векторы $\vec{a}$ и $\vec{d}$:

Сравним отношения соответствующих координат: $\frac{0.3}{-0.6} = -\frac{1}{2}$ и $\frac{-0.4}{0.8} = -\frac{1}{2}$.

Так как отношения равны ($k = -\frac{1}{2}$), векторы $\vec{a}$ и $\vec{d}$ коллинеарны ($\vec{d} = -\frac{1}{2}\vec{a}$).

4. Векторы $\vec{b}$ и $\vec{c}$:

Сравним отношения соответствующих координат: $\frac{0.8}{-1.8} = -\frac{8}{18} = -\frac{4}{9}$ и $\frac{-0.6}{2.4} = -\frac{6}{24} = -\frac{1}{4}$.

Так как отношения не равны ($-\frac{4}{9} \neq -\frac{1}{4}$), векторы $\vec{b}$ и $\vec{c}$ не коллинеарны.

5. Векторы $\vec{b}$ и $\vec{d}$:

Сравним отношения соответствующих координат: $\frac{0.3}{-1.8} = -\frac{1}{6}$ и $\frac{-0.4}{2.4} = -\frac{1}{6}$.

Так как отношения равны ($k = -\frac{1}{6}$), векторы $\vec{b}$ и $\vec{d}$ коллинеарны ($\vec{d} = -\frac{1}{6}\vec{b}$).

6. Векторы $\vec{c}$ и $\vec{d}$:

Сравним отношения соответствующих координат: $\frac{0.3}{0.8} = \frac{3}{8}$ и $\frac{-0.4}{-0.6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.

Так как отношения не равны ($\frac{3}{8} \neq \frac{2}{3}$), векторы $\vec{c}$ и $\vec{d}$ не коллинеарны.

Ответ:

Пары коллинеарных векторов: $(\vec{a}, \vec{b})$, $(\vec{a}, \vec{d})$, $(\vec{b}, \vec{d})$.

93. Постройте в координатной плоскости $xOy$ векторы $\vec{OA}$, $\vec{OB}$, $\vec{OC}$, если известны их разложения по координатным векторам: $\vec{OA} = \vec{i} + 2\vec{j}$, $\vec{OB} = -3\vec{i} + 3\vec{j}$, $\vec{OC} = 0.5\vec{i} - \vec{j}$.

Дано:

Даны разложения векторов по координатным векторам:

$\vec{OA} = \vec{i} + 2\vec{j}$

$\vec{OB} = -3\vec{i} + 3\vec{j}$

$\vec{OC} = 0.5\vec{i} - \vec{j}$

Найти:

Построить (описать построение) векторы $\vec{OA}$, $\vec{OB}$, $\vec{OC}$ в координатной плоскости $xOy$.

Решение:

Для построения векторов в координатной плоскости $xOy$ необходимо определить координаты их конечных точек, так как все данные векторы начинаются из начала координат $O(0,0)$. Если вектор $\vec{OP}$ задан в виде $\vec{OP} = x\vec{i} + y\vec{j}$, то точка $P$ имеет координаты $(x, y)$.

Определим координаты конечных точек для каждого вектора:

• Для вектора $\vec{OA} = \vec{i} + 2\vec{j}$, координаты точки $A$ равны $(1, 2)$.

• Для вектора $\vec{OB} = -3\vec{i} + 3\vec{j}$, координаты точки $B$ равны $(-3, 3)$.

• Для вектора $\vec{OC} = 0.5\vec{i} - \vec{j}$, координаты точки $C$ равны $(0.5, -1)$.

Процесс построения:

1. Начертите декартову систему координат $xOy$. Отметьте начало координат $O(0,0)$.

2. Для вектора $\vec{OA}$: найдите на плоскости точку $A$ с координатами $(1, 2)$ (1 по оси $Ox$, 2 по оси $Oy$). Проведите отрезок из начала координат $O$ в точку $A$ и поставьте стрелку у точки $A$. Это будет вектор $\vec{OA}$.

3. Для вектора $\vec{OB}$: найдите на плоскости точку $B$ с координатами $(-3, 3)$ (-3 по оси $Ox$, 3 по оси $Oy$). Проведите отрезок из начала координат $O$ в точку $B$ и поставьте стрелку у точки $B$. Это будет вектор $\vec{OB}$.

4. Для вектора $\vec{OC}$: найдите на плоскости точку $C$ с координатами $(0.5, -1)$ (0.5 по оси $Ox$, -1 по оси $Oy$). Проведите отрезок из начала координат $O$ в точку $C$ и поставьте стрелку у точки $C$. Это будет вектор $\vec{OC}$.

Ответ:

Векторы строятся из начала координат $O(0,0)$ к следующим точкам:

Вектор $\vec{OA}$ к точке $A(1, 2)$.

Вектор $\vec{OB}$ к точке $B(-3, 3)$.

Вектор $\vec{OC}$ к точке $C(0.5, -1)$.