Номер 88, страница 44 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

88. a) Найдите длины векторов $\vec{a}(4; -3)$, $\vec{b}(15; 0)$, $\vec{c}(1; \sqrt{3})$, $\vec{d}(-0,5; 1,2)$.

б) Даны векторы $\vec{a}(2; -1)$, $\vec{b}(-3; -5)$. Найдите координаты векторов $\vec{m}$ и $\vec{n}$, если $\vec{m} = \vec{a} - \vec{b}$ и $\vec{n} = 3\vec{a} + 2\vec{b}$.

в) Даны векторы $\vec{a}(6; 8)$, $\vec{b}(9; 12)$. Найдите длины векторов $\vec{c}$ и $\vec{d}$, если $\vec{c} = \vec{b} - \vec{a}$, $\vec{d} = \frac{1}{2}\vec{a} + \frac{1}{3}\vec{b}$.

a)

Дано:
векторы $\vec{a}(4; -3)$, $\vec{b}(15; 0)$, $\vec{c}(1; \sqrt{3})$, $\vec{d}(-0,5; 1,2)$.

Перевод в СИ:
Перевод в систему СИ не требуется, так как координаты векторов являются безразмерными величинами.

Найти:
длины векторов $|\vec{a}|$, $|\vec{b}|$, $|\vec{c}|$, $|\vec{d}|$.

Решение:
Длина вектора $\vec{v}(x; y)$ вычисляется по формуле $|\vec{v}| = \sqrt{x^2 + y^2}$.
Для вектора $\vec{a}(4; -3)$: $|\vec{a}| = \sqrt{4^2 + (-3)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$.
Для вектора $\vec{b}(15; 0)$: $|\vec{b}| = \sqrt{15^2 + 0^2} = \sqrt{225 + 0} = \sqrt{225} = 15$.
Для вектора $\vec{c}(1; \sqrt{3})$: $|\vec{c}| = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2$.
Для вектора $\vec{d}(-0,5; 1,2)$: $|\vec{d}| = \sqrt{(-0,5)^2 + (1,2)^2} = \sqrt{0,25 + 1,44} = \sqrt{1,69} = 1,3$.

Ответ: $|\vec{a}|=5$, $|\vec{b}|=15$, $|\vec{c}|=2$, $|\vec{d}|=1,3$.

б)

Дано:
векторы $\vec{a}(2; -1)$, $\vec{b}(-3; -5)$.
$\vec{m} = \vec{a} - \vec{b}$
$\vec{n} = 3\vec{a} + 2\vec{b}$

Перевод в СИ:
Перевод в систему СИ не требуется.

Найти:
координаты векторов $\vec{m}$ и $\vec{n}$.

Решение:
Для нахождения вектора $\vec{m} = \vec{a} - \vec{b}$ вычтем соответствующие координаты:
$\vec{m} = (2 - (-3); -1 - (-5)) = (2 + 3; -1 + 5) = (5; 4)$.
Для нахождения вектора $\vec{n} = 3\vec{a} + 2\vec{b}$ сначала выполним умножение векторов на скаляры:
$3\vec{a} = (3 \cdot 2; 3 \cdot (-1)) = (6; -3)$.
$2\vec{b} = (2 \cdot (-3); 2 \cdot (-5)) = (-6; -10)$.
Теперь сложим полученные векторы:
$\vec{n} = (6 + (-6); -3 + (-10)) = (6 - 6; -3 - 10) = (0; -13)$.

Ответ: $\vec{m}(5; 4)$, $\vec{n}(0; -13)$.

в)

Дано:
векторы $\vec{a}(6; 8)$, $\vec{b}(9; 12)$.
$\vec{c} = \vec{b} - \vec{a}$
$\vec{d} = \frac{1}{2}\vec{a} + \frac{1}{3}\vec{b}$

Перевод в СИ:
Перевод в систему СИ не требуется.

Найти:
длины векторов $|\vec{c}|$ и $|\vec{d}|$.

Решение:
Сначала найдем координаты вектора $\vec{c} = \vec{b} - \vec{a}$:
$\vec{c} = (9 - 6; 12 - 8) = (3; 4)$.
Теперь найдем длину вектора $\vec{c}$:
$|\vec{c}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.
Теперь найдем координаты вектора $\vec{d} = \frac{1}{2}\vec{a} + \frac{1}{3}\vec{b}$. Сначала умножим векторы на скаляры:
$\frac{1}{2}\vec{a} = (\frac{1}{2} \cdot 6; \frac{1}{2} \cdot 8) = (3; 4)$.
$\frac{1}{3}\vec{b} = (\frac{1}{3} \cdot 9; \frac{1}{3} \cdot 12) = (3; 4)$.
Теперь сложим полученные векторы:
$\vec{d} = (3 + 3; 4 + 4) = (6; 8)$.
Теперь найдем длину вектора $\vec{d}$:
$|\vec{d}| = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$.

Ответ: $|\vec{c}|=5$, $|\vec{d}|=10$.