Номер 89, страница 44 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

89. Даны векторы $\vec{a} (3; -4)$, $\vec{b} (-4; 2)$, $\vec{c} (1.5; -2)$, $\vec{d} (6; -3)$. Укажите пары коллинеарных векторов. Какие из них одинаково направленные, а какие – противоположно направленные?

Дано:

$\vec{a} (3; -4)$

$\vec{b} (-4; 2)$

$\vec{c} (1.5; -2)$

$\vec{d} (6; -3)$

Найти:

Пары коллинеарных векторов.

Какие из них одинаково направленные.

Какие из них противоположно направленные.

Решение:

Два ненулевых вектора $\vec{u}(x_u; y_u)$ и $\vec{v}(x_v; y_v)$ коллинеарны, если существует такое число $k \neq 0$, что $\vec{v} = k\vec{u}$. Это означает, что $x_v = kx_u$ и $y_v = ky_u$, или что их координаты пропорциональны: $\frac{x_u}{x_v} = \frac{y_u}{y_v}$ (при условии, что соответствующие координаты не равны нулю). Если $k > 0$, векторы одинаково направлены. Если $k < 0$, векторы противоположно направлены.

Проверим все возможные пары векторов:

Пары коллинеарных векторов

1. Для $\vec{a} (3; -4)$ и $\vec{b} (-4; 2)$:

Проверим пропорциональность: $\frac{3}{-4} = -0.75$ и $\frac{-4}{2} = -2$. Так как $-0.75 \neq -2$, векторы не коллинеарны.

2. Для $\vec{a} (3; -4)$ и $\vec{c} (1.5; -2)$:

Проверим пропорциональность: $\frac{3}{1.5} = 2$ и $\frac{-4}{-2} = 2$. Так как отношения равны, векторы коллинеарны. Найдем коэффициент $k$ для $\vec{c} = k\vec{a}$: $1.5 = k \cdot 3 \implies k = 0.5$; $-2 = k \cdot (-4) \implies k = 0.5$.

3. Для $\vec{a} (3; -4)$ и $\vec{d} (6; -3)$:

Проверим пропорциональность: $\frac{3}{6} = 0.5$ и $\frac{-4}{-3} = \frac{4}{3} \approx 1.33$. Так как $0.5 \neq \frac{4}{3}$, векторы не коллинеарны.

4. Для $\vec{b} (-4; 2)$ и $\vec{c} (1.5; -2)$:

Проверим пропорциональность: $\frac{-4}{1.5} = -\frac{8}{3} \approx -2.67$ и $\frac{2}{-2} = -1$. Так как $-\frac{8}{3} \neq -1$, векторы не коллинеарны.

5. Для $\vec{b} (-4; 2)$ и $\vec{d} (6; -3)$:

Проверим пропорциональность: $\frac{-4}{6} = -\frac{2}{3}$ и $\frac{2}{-3} = -\frac{2}{3}$. Так как отношения равны, векторы коллинеарны. Найдем коэффициент $k$ для $\vec{d} = k\vec{b}$: $6 = k \cdot (-4) \implies k = -\frac{6}{4} = -1.5$; $-3 = k \cdot 2 \implies k = -\frac{3}{2} = -1.5$.

6. Для $\vec{c} (1.5; -2)$ и $\vec{d} (6; -3)$:

Проверим пропорциональность: $\frac{1.5}{6} = 0.25$ и $\frac{-2}{-3} = \frac{2}{3} \approx 0.67$. Так как $0.25 \neq \frac{2}{3}$, векторы не коллинеарны.

Ответ: Пары коллинеарных векторов: $\vec{a}$ и $\vec{c}$; $\vec{b}$ и $\vec{d}$.

Одинаково направленные

Векторы одинаково направлены, если коэффициент пропорциональности $k > 0$.

Для пары $\vec{a}$ и $\vec{c}$ мы нашли, что $\vec{c} = 0.5\vec{a}$. Поскольку $k = 0.5 > 0$, векторы $\vec{a}$ и $\vec{c}$ одинаково направлены.

Ответ: Одинаково направленные векторы: $\vec{a}$ и $\vec{c}$.

Противоположно направленные

Векторы противоположно направлены, если коэффициент пропорциональности $k < 0$.

Для пары $\vec{b}$ и $\vec{d}$ мы нашли, что $\vec{d} = -1.5\vec{b}$. Поскольку $k = -1.5 < 0$, векторы $\vec{b}$ и $\vec{d}$ противоположно направлены.

Ответ: Противоположно направленные векторы: $\vec{b}$ и $\vec{d}$.