Практическое задание, страница 39 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАДАНИЕ

Постройте систему координат и отметьте в ней точки $A(4; 3)$ и $B(-6; 5)$. Постройте векторы $\vec{OA}$ и $\vec{OB}$, где $O$ – начало координат. Постройте вектор $\vec{OC}$ такой, что $\vec{OC} = \vec{OA} + \vec{OB}$. Найдите координаты точки $C$. Проанализируйте полученные данные.

Дано:

$A(4; 3)$

$B(-6; 5)$

$O(0; 0)$ - начало координат

$\vec{OC} = \vec{OA} + \vec{OB}$

Найти:

Координаты точки $C$.

Анализ полученных данных.

Решение

Постройте систему координат и отметьте в ней точки A(4; 3) и B(-6; 5).
Для построения системы координат необходимо провести две взаимно перпендикулярные прямые, которые будут являться осями координат: горизонтальная ось X (ось абсцисс) и вертикальная ось Y (ось ординат). Точка их пересечения будет началом координат $O(0;0)$. Затем на каждой оси необходимо отметить единичные отрезки для масштаба.
Для того чтобы отметить точку $A(4; 3)$, нужно отложить 4 единицы вправо по оси X от начала координат и 3 единицы вверх по оси Y. Точка, находящаяся на пересечении линий, параллельных осям и проходящих через эти отметки, будет точкой $A$.
Для того чтобы отметить точку $B(-6; 5)$, нужно отложить 6 единиц влево по оси X от начала координат (так как координата по X отрицательная) и 5 единиц вверх по оси Y. Точка, находящаяся на пересечении линий, параллельных осям и проходящих через эти отметки, будет точкой $B$.
Ответ: Графическое построение системы координат с отмеченными точками $A(4; 3)$ и $B(-6; 5)$ выполняется согласно описанной процедуре.

Постройте векторы $\vec{OA}$ и $\vec{OB}$, где O – начало координат.
Вектор $\vec{OA}$ - это вектор, который начинается в начале координат $O(0; 0)$ и заканчивается в точке $A(4; 3)$. Графически он изображается в виде стрелки, идущей от $O$ к $A$. Координаты вектора $\vec{OA}$ определяются как разность координат конечной и начальной точек: $\vec{OA} = (x_A - x_O; y_A - y_O) = (4 - 0; 3 - 0) = (4; 3)$.
Вектор $\vec{OB}$ - это вектор, который начинается в начале координат $O(0; 0)$ и заканчивается в точке $B(-6; 5)$. Графически он изображается в виде стрелки, идущей от $O$ к $B$. Координаты вектора $\vec{OB}$ определяются аналогично: $\vec{OB} = (x_B - x_O; y_B - y_O) = (-6 - 0; 5 - 0) = (-6; 5)$.
Ответ: Векторы $\vec{OA}$ и $\vec{OB}$ построены, их координаты $\vec{OA} = (4; 3)$ и $\vec{OB} = (-6; 5)$.

Постройте вектор $\vec{OC}$ такой, что $\vec{OC} = \vec{OA} + \vec{OB}$. Найдите координаты точки C.
Для нахождения координат вектора $\vec{OC}$ необходимо выполнить покомпонентное сложение координат векторов $\vec{OA}$ и $\vec{OB}$.
Пусть $\vec{OA} = (x_A; y_A)$ и $\vec{OB} = (x_B; y_B)$. Тогда вектор $\vec{OC} = (x_C; y_C)$ будет иметь координаты:
$x_C = x_A + x_B$
$y_C = y_A + y_B$
Подставляем известные значения:
$x_C = 4 + (-6) = 4 - 6 = -2$
$y_C = 3 + 5 = 8$
Таким образом, координаты вектора $\vec{OC}$ равны $(-2; 8)$.
Поскольку вектор $\vec{OC}$ начинается в начале координат $O(0; 0)$, то координаты его конечной точки $C$ совпадают с координатами самого вектора. Следовательно, точка $C$ имеет координаты $C(-2; 8)$.
Для графического построения вектора $\vec{OC}$ можно использовать правило параллелограмма. Из точки $A$ отложите вектор, равный $\vec{OB}$ (т.е. с координатами $(-6; 5)$), или из точки $B$ отложите вектор, равный $\vec{OA}$ (т.е. с координатами $(4; 3)$). Конец этого вектора будет точкой $C$. Вектор $\vec{OC}$ будет являться диагональю параллелограмма, построенного на векторах $\vec{OA}$ и $\vec{OB}$, исходящих из начала координат $O$.
Ответ: Координаты точки $C$ найдены: $C(-2; 8)$. Вектор $\vec{OC}$ построен как сумма векторов $\vec{OA}$ и $\vec{OB}$.

Проанализируйте полученные данные.
1. Если вектор начинается в начале координат $O(0;0)$, то его координаты численно совпадают с координатами конечной точки этого вектора. Это отчетливо видно на примере векторов $\vec{OA}=(4;3)$ для точки $A(4;3)$, $\vec{OB}=(-6;5)$ для точки $B(-6;5)$, а также для полученного вектора $\vec{OC}=(-2;8)$ для точки $C(-2;8)$.
2. Сложение векторов в координатной плоскости выполняется покомпонентно: отдельно складываются соответствующие $x$-координаты и отдельно $y$-координаты. Это позволяет производить векторные операции аналитически, без необходимости графических построений, что является фундаментальным свойством линейных пространств.
3. Геометрически, полученный вектор $\vec{OC}$ является главной диагональю параллелограмма, построенного на векторах $\vec{OA}$ и $\vec{OB}$, если они исходят из одной точки (начала координат $O$). Точка $C(-2;8)$ является четвертой вершиной этого параллелограмма, образованного точками $O(0;0)$, $A(4;3)$, $C(-2;8)$ и $B(-6;5)$.
Ответ: Анализ подтверждает, что координаты векторов, начинающихся в начале координат, совпадают с координатами их конечных точек. Сложение векторов производится покомпонентно, а его геометрическим представлением является правило параллелограмма.