Страница 54 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

122. Груз весом 3 Н находится на гладкой плоскости, которая наклонена к горизонту под углом 30°. С какой силой надо его удерживать, чтобы он находился в покое?

Дано:

Вес груза: $P = 3 \text{ Н}$
Угол наклона плоскости: $\alpha = 30^\circ$
Плоскость гладкая (сила трения отсутствует).
Груз находится в покое.

Перевод в систему СИ:

Все данные уже представлены в системе СИ.

Найти:

Сила, с которой надо удерживать груз: $F_{удерж}$

Решение:

Для того чтобы груз находился в покое на наклонной гладкой плоскости, сила, с которой его удерживают, должна быть равна проекции силы тяжести (веса) на наклонную плоскость. Так как плоскость гладкая, сила трения отсутствует, и единственная сила, стремящаяся сдвинуть груз вниз по плоскости, является компонентой его веса.

Рассмотрим силы, действующие на груз:

• Сила тяжести (вес) $P$, направленная вертикально вниз.
• Нормальная сила реакции опоры $N$, направленная перпендикулярно плоскости.
• Сила удержания $F_{удерж}$, направленная вдоль наклонной плоскости вверх, чтобы компенсировать скатывающую силу и обеспечить равновесие.

Разложим силу тяжести $P$ на две компоненты в системе координат, где одна ось параллельна наклонной плоскости, а другая перпендикулярна ей. Компонента силы тяжести, параллельная наклонной плоскости (скатывающая сила), определяется формулой:

$P_x = P \sin(\alpha)$

Для того чтобы груз находился в покое, сумма сил вдоль наклонной плоскости должна быть равна нулю (согласно первому закону Ньютона). Это означает, что сила удержания $F_{удерж}$ должна быть равна по модулю скатывающей силе $P_x$ и направлена в противоположную сторону.

$F_{удерж} = P_x$

Следовательно:

$F_{удерж} = P \sin(\alpha)$

Подставим известные значения:

$P = 3 \text{ Н}$
$\alpha = 30^\circ$
Известно, что $\sin(30^\circ) = 0.5$.

Выполним вычисления:

$F_{удерж} = 3 \text{ Н} \cdot 0.5$

$F_{удерж} = 1.5 \text{ Н}$

Ответ:

1.5 Н

123. Птица летит на юг с собственной скоростью 50 км/ч. Ее сносит восточный ветер, скорость которого равна 10 км/ч. Какова скорость птицы относительно земли? Ответ округлите до единиц.

Дано:

Собственная скорость птицы (относительно воздуха), направленная на юг: $v_п = 50 \text{ км/ч}$

Скорость восточного ветра (относительно земли), направленная на восток: $v_в = 10 \text{ км/ч}$

Перевод в СИ:

$v_п = 50 \text{ км/ч} = 50 \cdot \frac{1000}{3600} \text{ м/с} \approx 13.89 \text{ м/с}$

$v_в = 10 \text{ км/ч} = 10 \cdot \frac{1000}{3600} \text{ м/с} \approx 2.78 \text{ м/с}$

Найти:

Скорость птицы относительно земли: $v_{пз}$

Решение:

Скорость птицы относительно земли ($v_{пз}$) является векторной суммой собственной скорости птицы относительно воздуха ($v_п$) и скорости ветра относительно земли ($v_в$). Поскольку птица летит строго на юг, а восточный ветер сносит ее строго на восток, векторы этих двух скоростей перпендикулярны друг другу. Таким образом, результирующая скорость птицы относительно земли будет гипотенузой прямоугольного треугольника, образованного этими двумя векторами. Для нахождения модуля результирующей скорости используем теорему Пифагора:

$v_{пз} = \sqrt{v_п^2 + v_в^2}$

Подставим числовые значения из условия задачи:

$v_{пз} = \sqrt{(50 \text{ км/ч})^2 + (10 \text{ км/ч})^2}$

$v_{пз} = \sqrt{2500 \text{ км}^2/\text{ч}^2 + 100 \text{ км}^2/\text{ч}^2}$

$v_{пз} = \sqrt{2600 \text{ км}^2/\text{ч}^2}$

Вычислим приближенное значение:

$v_{пз} \approx 50.990196 \text{ км/ч}$

Согласно условию задачи, результат необходимо округлить до единиц:

$v_{пз} \approx 51 \text{ км/ч}$

Ответ: 51 км/ч

124. К некоторой точке тела приложены силы $\vec{F}$ и $\vec{Q}$, причем $|\vec{F}| = |\vec{Q}| = 4 \text{ H}$. Равнодействующая этих сил равна $4\sqrt{3} \text{ Н}$. Найдите угол между силами $\vec{F}$ и $\vec{Q}$.

Дано:

Модуль силы $\vec{F}$: $|\vec{F}| = 4 \, \text{Н}$

Модуль силы $\vec{Q}$: $|\vec{Q}| = 4 \, \text{Н}$

Модуль равнодействующей силы $\vec{R}$: $|\vec{R}| = 4\sqrt{3} \, \text{Н}$

Перевод данных в систему СИ: все данные уже представлены в системе СИ (Ньютоны).

Найти:

Угол $\theta$ между силами $\vec{F}$ и $\vec{Q}$.

Решение:

Для нахождения равнодействующей двух сил, приложенных к одной точке, используется формула, основанная на законе косинусов для сложения векторов:

$|\vec{R}|^2 = |\vec{F}|^2 + |\vec{Q}|^2 + 2|\vec{F}||\vec{Q}|\cos\theta$

Где $|\vec{R}|$ – модуль равнодействующей силы, $|\vec{F}|$ и $|\vec{Q}|$ – модули приложенных сил, а $\theta$ – угол между векторами $\vec{F}$ и $\vec{Q}$.

Подставим известные значения в формулу:

$(4\sqrt{3})^2 = (4)^2 + (4)^2 + 2 \cdot 4 \cdot 4 \cdot \cos\theta$

Вычислим квадраты и произведения:

$16 \cdot 3 = 16 + 16 + 32\cos\theta$

$48 = 32 + 32\cos\theta$

Перенесем известные члены в левую часть уравнения:

$48 - 32 = 32\cos\theta$

$16 = 32\cos\theta$

Выразим $\cos\theta$:

$\cos\theta = \frac{16}{32}$

$\cos\theta = \frac{1}{2}$

Чтобы найти угол $\theta$, используем арккосинус:

$\theta = \arccos\left(\frac{1}{2}\right)$

$\theta = 60^\circ$

Ответ:

Угол между силами $\vec{F}$ и $\vec{Q}$ равен $60^\circ$.

125. На плоскости некоторый груз находится в точке $O$ пересечения медиан треугольника $ABC$. К нему были приложены силы $\vec{OA}$, $\vec{OB}$ и $\vec{OC}$. Сдвинулся ли груз с места? Ответ объясните.

Дано:

Груз находится в точке $O$.

Точка $O$ является точкой пересечения медиан треугольника $ABC$ (центроид).

К грузу приложены силы, представленные векторами $\vec{OA}$, $\vec{OB}$ и $\vec{OC}$.

Найти:

Сдвинулся ли груз с места? Объяснить ответ.

Решение:

Для того чтобы определить, сдвинулся ли груз с места, необходимо найти равнодействующую всех приложенных к нему сил. Если равнодействующая сила равна нулевому вектору, то груз останется в состоянии покоя. Если равнодействующая сила отлична от нуля, груз начнет движение.

Равнодействующая сила $\vec{R}$ равна векторной сумме приложенных сил:

$\vec{R} = \vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC}$

Известно, что точка $O$ является центроидом (точкой пересечения медиан) треугольника $ABC$. Одним из важных свойств центроида $G$ треугольника $ABC$ является то, что для любой точки $P$ выполняется векторное равенство:

$\vec{PG} = \frac{\vec{PA} + \vec{PB} + \vec{PC}}{3}$

В нашем случае точка $P$ совпадает с точкой $O$ (центроидом). Подставляя $O$ вместо $P$ и $G$ в формулу, получаем:

$\vec{OO} = \frac{\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC}}{3}$

Вектор $\vec{OO}$ представляет собой вектор, начало и конец которого совпадают с одной и той же точкой $O$. Такой вектор является нулевым вектором:

$\vec{OO} = \vec{0}$

Подставляем это в предыдущее уравнение:

$\vec{0} = \frac{\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC}}{3}$

Умножая обе части уравнения на 3, получаем:

$3 \cdot \vec{0} = \vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC}$

$\vec{0} = \vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC}$

Таким образом, равнодействующая сила $\vec{R}$ равна нулевому вектору:

$\vec{R} = \vec{0}$

Это означает, что приложенные силы взаимно компенсируются, и их векторная сумма равна нулю. Следовательно, груз останется в равновесии и не сдвинется с места.

Ответ: Груз не сдвинулся с места. Это объясняется тем, что равнодействующая всех приложенных сил (векторная сумма $\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC}$) равна нулевому вектору, так как точка $O$ является центроидом треугольника $ABC$.

126. Два самолета вылетели из Нур-Султана, один – в Уральск, другой – в Алматы.

a) Найдите угол между векторами, изображающими перемещение самолетов, если расстояния между аэропортами Нур-Султана и Уральска – 1395 км, Нур-Султана и Алматы – 973 км, Уральска и Алматы – 2109 км;

б) Какова величина такого угла, если один самолет летит из Нур-Султана в Уральск, а другой – из Алматы в Нур-Султан?

Дано:

Расстояние от Нур-Султана до Уральска: $NU = 1395 \text{ км}$

Расстояние от Нур-Султана до Алматы: $NA = 973 \text{ км}$

Расстояние от Уральска до Алматы: $UA = 2109 \text{ км}$

Перевод в СИ:

$NU = 1395 \cdot 10^3 \text{ м}$

$NA = 973 \cdot 10^3 \text{ м}$

$UA = 2109 \cdot 10^3 \text{ м}$

Найти:

а) Угол $\alpha$ между векторами перемещения из Нур-Султана в Уральск и из Нур-Султана в Алматы.

б) Угол $\beta$ между вектором перемещения из Нур-Султана в Уральск и вектором перемещения из Алматы в Нур-Султан.

Решение:

а) Найдите угол между векторами, изображающими перемещение самолетов, если расстояния между аэропортами Нур-Султана и Уральска – 1395 км, Нур-Султана и Алматы – 973 км, Уральска и Алматы – 2109 км;

Обозначим города: Нур-Султан (Н), Уральск (У), Алматы (А).

Векторы перемещения начинаются из одной точки (Нур-Султан). Первый самолет летит из Нур-Султана в Уральск, его перемещение описывается вектором $\vec{НУ}$. Второй самолет летит из Нур-Султана в Алматы, его перемещение описывается вектором $\vec{НА}$.

Длины этих векторов равны расстояниям между соответствующими городами: $НУ = 1395 \text{ км}$, $НА = 973 \text{ км}$.

Расстояние между Уральском и Алматы составляет $УА = 2109 \text{ км}$.

Три города Н, У, А образуют треугольник. Угол между векторами $\vec{НУ}$ и $\vec{НА}$ – это угол при вершине Н в треугольнике НУА.

Для нахождения этого угла $\alpha$ воспользуемся теоремой косинусов для треугольника НУА:

$УА^2 = НУ^2 + НА^2 - 2 \cdot НУ \cdot НА \cdot \cos(\alpha)$

Выразим $\cos(\alpha)$ из формулы:

$\cos(\alpha) = \frac{НУ^2 + НА^2 - УА^2}{2 \cdot НУ \cdot НА}$

Подставим числовые значения:

$НУ^2 = 1395^2 = 1946025$

$НА^2 = 973^2 = 946729$

$УА^2 = 2109^2 = 4447881$

$\cos(\alpha) = \frac{1946025 + 946729 - 4447881}{2 \cdot 1395 \cdot 973}$

$\cos(\alpha) = \frac{2892754 - 4447881}{2715270}$

$\cos(\alpha) = \frac{-1555127}{2715270}$

$\cos(\alpha) \approx -0.57279316$

Теперь найдем угол $\alpha$:

$\alpha = \arccos(-0.57279316)$

$\alpha \approx 124.95^\circ$

Округлим до десятых долей градуса:

$\alpha \approx 125.0^\circ$

Ответ: Угол между векторами составляет приблизительно $125.0^\circ$.

б) Какова величина такого угла, если один самолет летит из Нур-Султана в Уральск, а другой – из Алматы в Нур-Султан?

Первый вектор перемещения остаётся тем же: $\vec{НУ}$ (из Нур-Султана в Уральск).

Второй самолет летит из Алматы в Нур-Султан, его перемещение описывается вектором $\vec{АН}$.

Заметим, что вектор $\vec{АН}$ противоположен вектору $\vec{НА}$, то есть $\vec{АН} = -\vec{НА}$.

Угол между вектором $\vec{НУ}$ и вектором $\vec{НА}$ мы обозначили как $\alpha$ и нашли его в части (а).

Угол между двумя векторами $\vec{A}$ и $\vec{B}$ равен $\theta$. Угол между вектором $\vec{A}$ и вектором $-\vec{B}$ равен $180^\circ - \theta$.

В нашем случае, искомый угол $\beta$ между $\vec{НУ}$ и $\vec{АН}$ равен $180^\circ - \alpha$.

$\beta = 180^\circ - 124.95^\circ$

$\beta = 55.05^\circ$

Округлим до десятых долей градуса:

$\beta \approx 55.1^\circ$

Ответ: Величина такого угла составляет приблизительно $55.1^\circ$.

127. Даны прямые AB и CD, на которых лежат векторы $\vec{AB} (3; 4)$ и $\vec{CD} (m; 2)$. При каком значении m эти прямые перпендикулярны?

Дано:

Вектор $\vec{AB}(3; 4)$

Вектор $\vec{CD}(m; 2)$

Прямые AB и CD перпендикулярны.

Перевод в СИ: Не требуется, так как даны координаты векторов.

Найти:

Значение $m$

Решение:

Две прямые перпендикулярны, если их направляющие векторы перпендикулярны. Два вектора перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю.

Скалярное произведение векторов $\vec{a}(x_1; y_1)$ и $\vec{b}(x_2; y_2)$ определяется формулой: $\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1 x_2 + y_1 y_2$.

Для данных векторов $\vec{AB}(3; 4)$ и $\vec{CD}(m; 2)$ скалярное произведение будет:

$\vec{AB} \cdot \vec{CD} = (3) \cdot (m) + (4) \cdot (2)$

Если прямые перпендикулярны, то скалярное произведение их направляющих векторов должно быть равно нулю:

$3m + 8 = 0$

Решим это уравнение относительно $m$:

$3m = -8$

$m = -\frac{8}{3}$

Ответ: $m = -\frac{8}{3}$

128. Докажите, что вектор $\vec{m} (4; 5)$ перпендикулярен прямой, заданной уравнением:

а) $4x + 5y = 0$;

б) $4x + 5y = 7$.

Дано:

Вектор $\vec{m}$ с координатами $(4; 5)$.

Уравнение прямой a): $4x + 5y = 0$.

Уравнение прямой b): $4x + 5y = 7$.

Найти:

Доказать, что вектор $\vec{m}$ перпендикулярен прямой, заданной уравнением:

a) $4x + 5y = 0$;

b) $4x + 5y = 7$.

Решение:

Общее уравнение прямой в декартовой системе координат имеет вид $Ax + By + C = 0$. Вектор $\vec{n}(A; B)$, составленный из коэффициентов при $x$ и $y$, является нормальным вектором к этой прямой. Нормальный вектор по определению перпендикулярен прямой.

a)

Рассмотрим уравнение прямой: $4x + 5y = 0$.

Это уравнение можно представить в общем виде $Ax + By + C = 0$, где $A = 4$, $B = 5$, $C = 0$.

Нормальный вектор для данной прямой имеет координаты $\vec{n}(A; B) = \vec{n}(4; 5)$.

Данный в условии вектор $\vec{m}$ имеет координаты $(4; 5)$.

Таким образом, вектор $\vec{m}(4; 5)$ совпадает с нормальным вектором $\vec{n}(4; 5)$ к прямой $4x + 5y = 0$.

Поскольку нормальный вектор всегда перпендикулярен прямой, то и вектор $\vec{m}$ перпендикулярен прямой $4x + 5y = 0$.

Ответ: Вектор $\vec{m}(4; 5)$ перпендикулярен прямой $4x + 5y = 0$, так как является ее нормальным вектором.

б)

Рассмотрим уравнение прямой: $4x + 5y = 7$.

Это уравнение можно представить в общем виде $Ax + By + C = 0$, перенеся константу в левую часть: $4x + 5y - 7 = 0$. Здесь $A = 4$, $B = 5$, $C = -7$.

Нормальный вектор для данной прямой имеет координаты $\vec{n}(A; B) = \vec{n}(4; 5)$.

Данный в условии вектор $\vec{m}$ имеет координаты $(4; 5)$.

Таким образом, вектор $\vec{m}(4; 5)$ совпадает с нормальным вектором $\vec{n}(4; 5)$ к прямой $4x + 5y = 7$.

Поскольку нормальный вектор всегда перпендикулярен прямой, то и вектор $\vec{m}$ перпендикулярен прямой $4x + 5y = 7$.

Ответ: Вектор $\vec{m}(4; 5)$ перпендикулярен прямой $4x + 5y = 7$, так как является ее нормальным вектором.

129. Составьте уравнение прямой, на которой лежит вектор $\overrightarrow{AC}$, если:
а) $A(2; 3)$, $C(0; 4)$;
б) $A(-14; 15)$, $C(5; 10)$.

а)

Дано:

Точка $A = (2, 3)$

Точка $C = (0, 4)$

Найти:

Уравнение прямой, на которой лежит вектор $\vec{AC}$.

Решение

Для составления уравнения прямой, проходящей через две заданные точки $A(x_1, y_1)$ и $C(x_2, y_2)$, используем формулу:

$\frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1}$

Подставим координаты точек $A(2, 3)$ и $C(0, 4)$ в эту формулу:

$\frac{x - 2}{0 - 2} = \frac{y - 3}{4 - 3}$

Упростим знаменатели:

$\frac{x - 2}{-2} = \frac{y - 3}{1}$

Чтобы избавиться от знаменателей, перемножим выражения крест-накрест:

$1 \cdot (x - 2) = -2 \cdot (y - 3)$

Раскроем скобки:

$x - 2 = -2y + 6$

Перенесем все члены в одну сторону уравнения, чтобы получить общее уравнение прямой $Ax + By + C = 0$:

$x + 2y - 2 - 6 = 0$

$x + 2y - 8 = 0$

Ответ: $x + 2y - 8 = 0$

б)

Дано:

Точка $A = (-14, 15)$

Точка $C = (5, 10)$

Найти:

Уравнение прямой, на которой лежит вектор $\vec{AC}$.

Решение

Для составления уравнения прямой, проходящей через две заданные точки $A(x_1, y_1)$ и $C(x_2, y_2)$, используем формулу:

$\frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1}$

Подставим координаты точек $A(-14, 15)$ и $C(5, 10)$ в эту формулу:

$\frac{x - (-14)}{5 - (-14)} = \frac{y - 15}{10 - 15}$

Упростим знаменатели:

$\frac{x + 14}{5 + 14} = \frac{y - 15}{-5}$

$\frac{x + 14}{19} = \frac{y - 15}{-5}$

Чтобы избавиться от знаменателей, перемножим выражения крест-накрест:

$-5 \cdot (x + 14) = 19 \cdot (y - 15)$

Раскроем скобки:

$-5x - 70 = 19y - 285$

Перенесем все члены в одну сторону уравнения, чтобы получить общее уравнение прямой $Ax + By + C = 0$:

$-5x - 19y - 70 + 285 = 0$

$-5x - 19y + 215 = 0$

Умножим уравнение на $-1$ для удобства записи (чтобы коэффициент при $x$ был положительным):

$5x + 19y - 215 = 0$

Ответ: $5x + 19y - 215 = 0$