Номер 125, страница 54 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

125. На плоскости некоторый груз находится в точке $O$ пересечения медиан треугольника $ABC$. К нему были приложены силы $\vec{OA}$, $\vec{OB}$ и $\vec{OC}$. Сдвинулся ли груз с места? Ответ объясните.

Дано:

Груз находится в точке $O$.

Точка $O$ является точкой пересечения медиан треугольника $ABC$ (центроид).

К грузу приложены силы, представленные векторами $\vec{OA}$, $\vec{OB}$ и $\vec{OC}$.

Найти:

Сдвинулся ли груз с места? Объяснить ответ.

Решение:

Для того чтобы определить, сдвинулся ли груз с места, необходимо найти равнодействующую всех приложенных к нему сил. Если равнодействующая сила равна нулевому вектору, то груз останется в состоянии покоя. Если равнодействующая сила отлична от нуля, груз начнет движение.

Равнодействующая сила $\vec{R}$ равна векторной сумме приложенных сил:

$\vec{R} = \vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC}$

Известно, что точка $O$ является центроидом (точкой пересечения медиан) треугольника $ABC$. Одним из важных свойств центроида $G$ треугольника $ABC$ является то, что для любой точки $P$ выполняется векторное равенство:

$\vec{PG} = \frac{\vec{PA} + \vec{PB} + \vec{PC}}{3}$

В нашем случае точка $P$ совпадает с точкой $O$ (центроидом). Подставляя $O$ вместо $P$ и $G$ в формулу, получаем:

$\vec{OO} = \frac{\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC}}{3}$

Вектор $\vec{OO}$ представляет собой вектор, начало и конец которого совпадают с одной и той же точкой $O$. Такой вектор является нулевым вектором:

$\vec{OO} = \vec{0}$

Подставляем это в предыдущее уравнение:

$\vec{0} = \frac{\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC}}{3}$

Умножая обе части уравнения на 3, получаем:

$3 \cdot \vec{0} = \vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC}$

$\vec{0} = \vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC}$

Таким образом, равнодействующая сила $\vec{R}$ равна нулевому вектору:

$\vec{R} = \vec{0}$

Это означает, что приложенные силы взаимно компенсируются, и их векторная сумма равна нулю. Следовательно, груз останется в равновесии и не сдвинется с места.

Ответ: Груз не сдвинулся с места. Это объясняется тем, что равнодействующая всех приложенных сил (векторная сумма $\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC}$) равна нулевому вектору, так как точка $O$ является центроидом треугольника $ABC$.