Номер 120, страница 51 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

120. Найдите $\cos 75^\circ$.

Найдите cos 75°

Дано:

Требуется найти значение косинуса угла $75^\circ$.

Данные не требуют перевода в систему СИ, так как углы не выражаются в единицах СИ для данного типа задачи.

Найти:

$\cos 75^\circ$

Решение:

Для нахождения точного значения $\cos 75^\circ$ мы можем воспользоваться формулой косинуса суммы двух углов. Угол $75^\circ$ удобно представить как сумму двух известных углов, для которых тригонометрические значения являются табличными:

$75^\circ = 45^\circ + 30^\circ$

Формула косинуса суммы углов имеет вид:

$\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta$

В нашем случае, пусть $\alpha = 45^\circ$ и $\beta = 30^\circ$.

Известные табличные значения синусов и косинусов для этих углов:

$\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$

Теперь подставим эти значения в формулу косинуса суммы:

$\cos 75^\circ = \cos(45^\circ + 30^\circ) = \cos 45^\circ \cos 30^\circ - \sin 45^\circ \sin 30^\circ$

$\cos 75^\circ = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \cdot \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) - \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \cdot \left(\frac{1}{2}\right)$

Выполним умножение в каждом слагаемом:

$\cos 75^\circ = \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2} \cdot 1}{2 \cdot 2}$

$\cos 75^\circ = \frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4}$

Теперь объединим дроби, так как у них общий знаменатель:

$\cos 75^\circ = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

Таким образом, точное значение $\cos 75^\circ$ найдено.

Ответ:

$\cos 75^\circ = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$