Номер 126, страница 54 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

126. Два самолета вылетели из Нур-Султана, один – в Уральск, другой – в Алматы.

a) Найдите угол между векторами, изображающими перемещение самолетов, если расстояния между аэропортами Нур-Султана и Уральска – 1395 км, Нур-Султана и Алматы – 973 км, Уральска и Алматы – 2109 км;

б) Какова величина такого угла, если один самолет летит из Нур-Султана в Уральск, а другой – из Алматы в Нур-Султан?

Дано:

Расстояние от Нур-Султана до Уральска: $NU = 1395 \text{ км}$

Расстояние от Нур-Султана до Алматы: $NA = 973 \text{ км}$

Расстояние от Уральска до Алматы: $UA = 2109 \text{ км}$

Перевод в СИ:

$NU = 1395 \cdot 10^3 \text{ м}$

$NA = 973 \cdot 10^3 \text{ м}$

$UA = 2109 \cdot 10^3 \text{ м}$

Найти:

а) Угол $\alpha$ между векторами перемещения из Нур-Султана в Уральск и из Нур-Султана в Алматы.

б) Угол $\beta$ между вектором перемещения из Нур-Султана в Уральск и вектором перемещения из Алматы в Нур-Султан.

Решение:

а) Найдите угол между векторами, изображающими перемещение самолетов, если расстояния между аэропортами Нур-Султана и Уральска – 1395 км, Нур-Султана и Алматы – 973 км, Уральска и Алматы – 2109 км;

Обозначим города: Нур-Султан (Н), Уральск (У), Алматы (А).

Векторы перемещения начинаются из одной точки (Нур-Султан). Первый самолет летит из Нур-Султана в Уральск, его перемещение описывается вектором $\vec{НУ}$. Второй самолет летит из Нур-Султана в Алматы, его перемещение описывается вектором $\vec{НА}$.

Длины этих векторов равны расстояниям между соответствующими городами: $НУ = 1395 \text{ км}$, $НА = 973 \text{ км}$.

Расстояние между Уральском и Алматы составляет $УА = 2109 \text{ км}$.

Три города Н, У, А образуют треугольник. Угол между векторами $\vec{НУ}$ и $\vec{НА}$ – это угол при вершине Н в треугольнике НУА.

Для нахождения этого угла $\alpha$ воспользуемся теоремой косинусов для треугольника НУА:

$УА^2 = НУ^2 + НА^2 - 2 \cdot НУ \cdot НА \cdot \cos(\alpha)$

Выразим $\cos(\alpha)$ из формулы:

$\cos(\alpha) = \frac{НУ^2 + НА^2 - УА^2}{2 \cdot НУ \cdot НА}$

Подставим числовые значения:

$НУ^2 = 1395^2 = 1946025$

$НА^2 = 973^2 = 946729$

$УА^2 = 2109^2 = 4447881$

$\cos(\alpha) = \frac{1946025 + 946729 - 4447881}{2 \cdot 1395 \cdot 973}$

$\cos(\alpha) = \frac{2892754 - 4447881}{2715270}$

$\cos(\alpha) = \frac{-1555127}{2715270}$

$\cos(\alpha) \approx -0.57279316$

Теперь найдем угол $\alpha$:

$\alpha = \arccos(-0.57279316)$

$\alpha \approx 124.95^\circ$

Округлим до десятых долей градуса:

$\alpha \approx 125.0^\circ$

Ответ: Угол между векторами составляет приблизительно $125.0^\circ$.

б) Какова величина такого угла, если один самолет летит из Нур-Султана в Уральск, а другой – из Алматы в Нур-Султан?

Первый вектор перемещения остаётся тем же: $\vec{НУ}$ (из Нур-Султана в Уральск).

Второй самолет летит из Алматы в Нур-Султан, его перемещение описывается вектором $\vec{АН}$.

Заметим, что вектор $\vec{АН}$ противоположен вектору $\vec{НА}$, то есть $\vec{АН} = -\vec{НА}$.

Угол между вектором $\vec{НУ}$ и вектором $\vec{НА}$ мы обозначили как $\alpha$ и нашли его в части (а).

Угол между двумя векторами $\vec{A}$ и $\vec{B}$ равен $\theta$. Угол между вектором $\vec{A}$ и вектором $-\vec{B}$ равен $180^\circ - \theta$.

В нашем случае, искомый угол $\beta$ между $\vec{НУ}$ и $\vec{АН}$ равен $180^\circ - \alpha$.

$\beta = 180^\circ - 124.95^\circ$

$\beta = 55.05^\circ$

Округлим до десятых долей градуса:

$\beta \approx 55.1^\circ$

Ответ: Величина такого угла составляет приблизительно $55.1^\circ$.