Номер 130, страница 55 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

уровень А

130. Можно ли составить уравнение прямой, на которой лежит вектор $\vec{MN} (2; 3)$? Ответ объясните.

Решение

Вектор, заданный своими координатами, например, $\vec{MN}(2; 3)$, определяет лишь направление и величину отрезка. Он не задаёт уникального положения в пространстве, то есть не определяет конкретные начальную и конечную точки, через которые проходит этот отрезок. Вектор $\vec{MN}(2; 3)$ может быть перенесён в любую точку плоскости.

Если прямая содержит данный вектор, это означает, что вектор параллелен этой прямой или является её отрезком. Вектор $\vec{MN}(2; 3)$ может рассматриваться как направляющий вектор для прямой.

Для составления уникального уравнения прямой необходимо знать либо две точки, через которые проходит прямая, либо одну точку и её направляющий вектор (или нормальный вектор).

Так как нам даны только координаты самого вектора $\vec{MN}(2; 3)$, который может быть началом в любой точке координатной плоскости, существует бесконечное множество параллельных прямых, на которых может "лежать" такой вектор. Каждая из этих прямых будет иметь своё уникальное уравнение. Например, если вектор $\vec{MN}$ начинается в точке $M(0;0)$, то его конец $N$ будет в точке $(0+2; 0+3)$, то есть $N(2;3)$. Уравнение прямой, проходящей через $M(0;0)$ и $N(2;3)$, можно найти, используя в качестве направляющего вектора $\vec{d}=(2;3)$. Тогда, например, нормальный вектор будет $\vec{n}=(-3;2)$. Общее уравнение прямой имеет вид $Ax + By + C = 0$. Подставляя координаты нормального вектора, получаем $-3x + 2y + C = 0$. Подставляя координаты точки $M(0;0)$, находим $C$: $-3(0) + 2(0) + C = 0 \Rightarrow C = 0$. Таким образом, уравнение прямой будет $-3x + 2y = 0$.

Если же вектор $\vec{MN}$ начинается в точке $M(1;1)$, то его конец $N$ будет в точке $(1+2; 1+3)$, то есть $N(3;4)$. Уравнение прямой, проходящей через $M(1;1)$ и $N(3;4)$, с тем же нормальным вектором $\vec{n}=(-3;2)$ будет $-3x + 2y + C = 0$. Подставляя координаты точки $M(1;1)$, находим $C$: $-3(1) + 2(1) + C = 0 \Rightarrow -3 + 2 + C = 0 \Rightarrow -1 + C = 0 \Rightarrow C = 1$. Тогда уравнение прямой будет $-3x + 2y + 1 = 0$.

Как видно из примеров, уравнения прямых различны, хотя на них лежит один и тот же вектор (в смысле его направления и длины). Таким образом, без указания конкретной точки, через которую проходит прямая, невозможно составить её уникальное уравнение.

Ответ: Нет, нельзя составить уникальное уравнение прямой, на которой лежит вектор $\vec{MN}(2; 3)$, так как вектор определяет только направление и длину, но не положение прямой в пространстве. Для составления уникального уравнения прямой необходима дополнительная информация, например, координаты одной из точек, принадлежащих этой прямой.