Номер 135, страница 55 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

135. Найдите площадь $\triangle ABC$, если:

а) $A(-6; -2)$, $B(4; 8)$, $C(2; -8)$;

б) $A(-2; -2)$, $B(1; 1)$, $C(3; -7)$.

а)

Дано:

координаты вершин треугольника ABC: $A(-6; -2)$, $B(4; 8)$, $C(2; -8)$.

Перевод в СИ:

Координаты являются безразмерными величинами в данной задаче, перевод в СИ не требуется.

Найти:

Площадь треугольника ABC ($S_{ABC}$).

Решение:

Используем формулу площади треугольника по координатам его вершин:

$S = \frac{1}{2} |x_A(y_B - y_C) + x_B(y_C - y_A) + x_C(y_A - y_B)|$

Подставляем координаты:

$x_A = -6$, $y_A = -2$
$x_B = 4$, $y_B = 8$
$x_C = 2$, $y_C = -8$

Вычисляем значение выражения внутри модуля:

$(-6)(8 - (-8)) + 4(-8 - (-2)) + 2(-2 - 8)$

$= (-6)(8 + 8) + 4(-8 + 2) + 2(-10)$

$= (-6)(16) + 4(-6) + (-20)$

$= -96 - 24 - 20$

$= -140$

Теперь подставляем это значение в формулу площади:

$S_{ABC} = \frac{1}{2} |-140|$

$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot 140$

$S_{ABC} = 70$

Ответ: 70

б)

Дано:

координаты вершин треугольника ABC: $A(-2; -2)$, $B(1; 1)$, $C(3; -7)$.

Перевод в СИ:

Координаты являются безразмерными величинами в данной задаче, перевод в СИ не требуется.

Найти:

Площадь треугольника ABC ($S_{ABC}$).

Решение:

Используем формулу площади треугольника по координатам его вершин:

$S = \frac{1}{2} |x_A(y_B - y_C) + x_B(y_C - y_A) + x_C(y_A - y_B)|$

Подставляем координаты:

$x_A = -2$, $y_A = -2$
$x_B = 1$, $y_B = 1$
$x_C = 3$, $y_C = -7$

Вычисляем значение выражения внутри модуля:

$(-2)(1 - (-7)) + 1(-7 - (-2)) + 3(-2 - 1)$

$= (-2)(1 + 7) + 1(-7 + 2) + 3(-3)$

$= (-2)(8) + 1(-5) + (-9)$

$= -16 - 5 - 9$

$= -30$

Теперь подставляем это значение в формулу площади:

$S_{ABC} = \frac{1}{2} |-30|$

$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot 30$

$S_{ABC} = 15$

Ответ: 15