Номер 134, страница 55 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

уровень 2

134. Дан четырехугольник с вершинами $A(-2; -2)$, $B(-3; 1)$, $C(7; 7)$ и $D(3; -1)$. Найдите синус угла между его диагоналями.

Дано:

Вершины четырехугольника: $A(-2; -2)$, $B(-3; 1)$, $C(7; 7)$, $D(3; -1)$.

Найти:

Синус угла между диагоналями четырехугольника.

Решение:

Для нахождения синуса угла между диагоналями AC и BD, сначала найдем координаты векторов, соответствующих этим диагоналям.

1. Найдем координаты вектора $\vec{AC}$: $AC_x = C_x - A_x = 7 - (-2) = 9$ $AC_y = C_y - A_y = 7 - (-2) = 9$ Таким образом, $\vec{AC} = (9; 9)$.

2. Найдем координаты вектора $\vec{BD}$: $BD_x = D_x - B_x = 3 - (-3) = 6$ $BD_y = D_y - B_y = -1 - 1 = -2$ Таким образом, $\vec{BD} = (6; -2)$.

3. Вычислим скалярное произведение векторов $\vec{AC}$ и $\vec{BD}$: $\vec{AC} \cdot \vec{BD} = AC_x \cdot BD_x + AC_y \cdot BD_y = 9 \cdot 6 + 9 \cdot (-2) = 54 - 18 = 36$.

4. Вычислим длины (модули) векторов $\vec{AC}$ и $\vec{BD}$: $|\vec{AC}| = \sqrt{AC_x^2 + AC_y^2} = \sqrt{9^2 + 9^2} = \sqrt{81 + 81} = \sqrt{162} = \sqrt{81 \cdot 2} = 9\sqrt{2}$. $|\vec{BD}| = \sqrt{BD_x^2 + BD_y^2} = \sqrt{6^2 + (-2)^2} = \sqrt{36 + 4} = \sqrt{40} = \sqrt{4 \cdot 10} = 2\sqrt{10}$.

5. Найдем косинус угла $\theta$ между векторами $\vec{AC}$ и $\vec{BD}$ по формуле $\cos(\theta) = \frac{\vec{AC} \cdot \vec{BD}}{|\vec{AC}| |\vec{BD}|}$: $\cos(\theta) = \frac{36}{9\sqrt{2} \cdot 2\sqrt{10}} = \frac{36}{18\sqrt{20}} = \frac{2}{\sqrt{20}} = \frac{2}{\sqrt{4 \cdot 5}} = \frac{2}{2\sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}}$.

6. Найдем синус угла $\theta$, используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2(\theta) + \cos^2(\theta) = 1$. Поскольку угол между диагоналями может быть острым или тупым (но обычно имеется в виду острый угол), и синус угла в диапазоне от $0^\circ$ до $180^\circ$ всегда неотрицателен, возьмем положительное значение корня: $\sin(\theta) = \sqrt{1 - \cos^2(\theta)} = \sqrt{1 - \left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{1}{5}} = \sqrt{\frac{5 - 1}{5}} = \sqrt{\frac{4}{5}} = \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}}$. Для рационализации знаменателя умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{5}$: $\sin(\theta) = \frac{2\sqrt{5}}{5}$.

Ответ:

$\frac{2\sqrt{5}}{5}$