Номер 138, страница 55 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

138. Найдите длину диагонали AC ромба ABCD, если $AB = 4 \text{ см}$ и $\angle A = 30^{\circ}$.

Дано

Ромб ABCD

$AB = 4$ см

$\angle A = 30^\circ$

Перевод в СИ:

$AB = 4$ см $= 0.04$ м

$\angle A = 30^\circ = \frac{\pi}{6}$ рад

Найти:

Длину диагонали $AC$.

Решение

В ромбе все стороны равны, поэтому $AB = BC = CD = DA = 4$ см. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам. Также диагонали ромба делят углы, из которых они исходят, пополам.

Рассмотрим диагональ $AC$. Она делит угол $\angle A$ пополам, то есть $\angle CAB = \angle CAD = \frac{\angle A}{2}$.

$\angle CAB = \frac{30^\circ}{2} = 15^\circ$.

Пусть $O$ - точка пересечения диагоналей ромба. Тогда треугольник $AOB$ является прямоугольным (поскольку диагонали ромба перпендикулярны).

В прямоугольном треугольнике $AOB$:

Гипотенуза $AB = 4$ см.

Катет $AO$ равен половине диагонали $AC$, то есть $AO = \frac{AC}{2}$.

Угол $\angle OAB = 15^\circ$.

Используем определение косинуса в прямоугольном треугольнике: $\cos(\angle OAB) = \frac{AO}{AB}$

Подставим известные значения: $\cos(15^\circ) = \frac{AC/2}{4}$

Отсюда выразим $AC$: $AC = 8 \cdot \cos(15^\circ)$

Теперь найдем значение $\cos(15^\circ)$ с помощью формулы косинуса разности углов: $\cos(15^\circ) = \cos(45^\circ - 30^\circ) = \cos(45^\circ)\cos(30^\circ) + \sin(45^\circ)\sin(30^\circ)$

Известные значения синусов и косинусов стандартных углов: $\cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ $\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ $\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$

Подставим эти значения: $\cos(15^\circ) = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\left(\frac{1}{2}\right)$ $\cos(15^\circ) = \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4}$ $\cos(15^\circ) = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

Теперь подставим значение $\cos(15^\circ)$ в выражение для $AC$: $AC = 8 \cdot \left(\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}\right)$ $AC = 2(\sqrt{6} + \sqrt{2})$

Ответ: $AC = 2(\sqrt{6} + \sqrt{2})$ см