Номер 141, страница 55 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

141. Дана трапеция $ABCD$ с основаниями $BC$ и $AD$, точки $M$ и $N$ – середины ее сторон $AB$ и $CD$ соответственно. Докажите, что вектор, равный сумме векторов $\vec{AC}$ и $\vec{BD}$, коллинеарен вектору $\vec{MN}$.

Дано:

Трапеция $ABCD$.
Основания: $BC \parallel AD$.
Точка $M$ - середина стороны $AB$.
Точка $N$ - середина стороны $CD$.

Найти:

Доказать, что вектор $\vec{AC} + \vec{BD}$ коллинеарен вектору $\vec{MN}$.

Решение:

Для доказательства коллинеарности двух векторов, необходимо показать, что один вектор может быть выражен как произведение другого вектора на некоторый скаляр $k$, где $k \ne 0$. То есть, нам нужно доказать, что $\vec{AC} + \vec{BD} = k \cdot \vec{MN}$ для некоторого скаляра $k \ne 0$.

Выразим вектор $\vec{MN}$, который является вектором, соединяющим середины непараллельных сторон трапеции (медиана трапеции). Для этого воспользуемся правилом сложения векторов.

Вектор $\vec{MN}$ можно представить как сумму векторов, двигаясь от $M$ к $N$ через точки $A$ и $D$:
$\vec{MN} = \vec{MA} + \vec{AD} + \vec{DN}$ (1)
Также вектор $\vec{MN}$ можно представить как сумму векторов, двигаясь от $M$ к $N$ через точки $B$ и $C$:
$\vec{MN} = \vec{MB} + \vec{BC} + \vec{CN}$ (2)

Сложим уравнения (1) и (2):
$2\vec{MN} = (\vec{MA} + \vec{MB}) + (\vec{AD} + \vec{BC}) + (\vec{DN} + \vec{CN})$

Поскольку точка $M$ является серединой стороны $AB$, векторы $\vec{MA}$ и $\vec{MB}$ являются противоположными, то есть $\vec{MA} + \vec{MB} = \vec{0}$.
Аналогично, поскольку точка $N$ является серединой стороны $CD$, векторы $\vec{DN}$ и $\vec{CN}$ являются противоположными, то есть $\vec{DN} + \vec{CN} = \vec{0}$.

Подставим эти равенства в выражение для $2\vec{MN}$:
$2\vec{MN} = \vec{0} + (\vec{AD} + \vec{BC}) + \vec{0}$
$2\vec{MN} = \vec{AD} + \vec{BC}$
Отсюда выразим вектор $\vec{MN}$:
$\vec{MN} = \frac{1}{2}(\vec{AD} + \vec{BC})$ (3)

Теперь выразим сумму векторов $\vec{AC} + \vec{BD}$. Используем правило треугольника для разложения векторов.
Вектор $\vec{AC}$ можно представить как сумму векторов, идущих от $A$ к $C$ через $B$:
$\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{BC}$.
Вектор $\vec{BD}$ можно представить как сумму векторов, идущих от $B$ к $D$ через $A$:
$\vec{BD} = \vec{BA} + \vec{AD}$.

Сложим эти два выражения:
$\vec{AC} + \vec{BD} = (\vec{AB} + \vec{BC}) + (\vec{BA} + \vec{AD})$
Перегруппируем слагаемые:
$\vec{AC} + \vec{BD} = \vec{AB} + \vec{BA} + \vec{BC} + \vec{AD}$

Поскольку векторы $\vec{AB}$ и $\vec{BA}$ являются противоположными, их сумма равна нулевому вектору: $\vec{AB} + \vec{BA} = \vec{0}$.

Таким образом:
$\vec{AC} + \vec{BD} = \vec{0} + \vec{BC} + \vec{AD}$
$\vec{AC} + \vec{BD} = \vec{BC} + \vec{AD}$ (4)

Сравнивая выражения (3) и (4), мы видим, что:
Из (3) мы получили: $\vec{AD} + \vec{BC} = 2\vec{MN}$.
Из (4) мы получили: $\vec{AC} + \vec{BD} = \vec{BC} + \vec{AD}$.

Следовательно, мы можем подставить выражение для $(\vec{BC} + \vec{AD})$ из (3) в (4):
$\vec{AC} + \vec{BD} = 2\vec{MN}$

Поскольку вектор $\vec{AC} + \vec{BD}$ равен произведению вектора $\vec{MN}$ на скаляр $2$, который не равен нулю, эти векторы являются коллинеарными по определению коллинеарности векторов.

Ответ:

Доказано, что вектор, равный сумме векторов $\vec{AC}$ и $\vec{BD}$, коллинеарен вектору $\vec{MN}$.