Номер 137, страница 55 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

137. Сторона $AC$ треугольника $ABC$ равна 14 см. На стороне $BC$ отмечена точка $K$ так, что $BK : KC = 2 : 5$, а на стороне $AB$ – точка $M$ так, что $BM : MA = 5 : 2$. Найдите длины отрезков $KP$ и $MN$, параллельных стороне $AC$ ($P \in AB, N \in BC$).

Дано:

Треугольник $ABC$.

Сторона $AC = 14 \text{ см}$.

Точка $K$ на стороне $BC$ такая, что $BK : KC = 2 : 5$.

Точка $M$ на стороне $AB$ такая, что $BM : MA = 5 : 2$.

Отрезок $KP \parallel AC$, где $P \in AB$.

Отрезок $MN \parallel AC$, где $N \in BC$.

Перевод в СИ:

$AC = 14 \text{ см} = 0.14 \text{ м}$.

Найти:

Длины отрезков $KP$ и $MN$.

Решение:

Длина отрезка KP

По условию, отрезок $KP \parallel AC$. Поскольку точка $K$ лежит на стороне $BC$, а точка $P$ - на стороне $AB$, образуется треугольник $BKP$. Треугольник $BKP$ подобен треугольнику $BAC$ по двум углам (угол $B$ - общий для обоих треугольников, а углы $\angle BKP$ и $\angle BCA$ равны как соответственные углы при параллельных прямых $KP$ и $AC$ и секущей $BC$).

Из подобия треугольников следует отношение сходственных сторон:

$\frac{KP}{AC} = \frac{BK}{BC}$.

По условию, отношение $BK : KC = 2 : 5$. Это означает, что если $BK$ составляет $2$ части, то $KC$ составляет $5$ частей. Тогда вся сторона $BC$ состоит из $2 + 5 = 7$ таких частей.

Следовательно, отношение $\frac{BK}{BC} = \frac{2}{7}$.

Подставим это отношение в формулу подобия:

$\frac{KP}{AC} = \frac{2}{7}$.

Теперь выразим длину отрезка $KP$:

$KP = AC \cdot \frac{2}{7}$.

Подставим известное значение $AC = 14 \text{ см}$:

$KP = 14 \text{ см} \cdot \frac{2}{7} = \frac{14 \cdot 2}{7} = 2 \cdot 2 = 4 \text{ см}$.

Ответ: $4 \text{ см}$.

Длина отрезка MN

По условию, отрезок $MN \parallel AC$. Поскольку точка $M$ лежит на стороне $AB$, а точка $N$ - на стороне $BC$, образуется треугольник $BMN$. Треугольник $BMN$ подобен треугольнику $BAC$ по двум углам (угол $B$ - общий для обоих треугольников, а углы $\angle BMN$ и $\angle BAC$ равны как соответственные углы при параллельных прямых $MN$ и $AC$ и секущей $AB$).

Из подобия треугольников следует отношение сходственных сторон:

$\frac{MN}{AC} = \frac{BM}{BA}$.

По условию, отношение $BM : MA = 5 : 2$. Это означает, что если $BM$ составляет $5$ частей, то $MA$ составляет $2$ части. Тогда вся сторона $BA$ состоит из $5 + 2 = 7$ таких частей.

Следовательно, отношение $\frac{BM}{BA} = \frac{5}{7}$.

Подставим это отношение в формулу подобия:

$\frac{MN}{AC} = \frac{5}{7}$.

Теперь выразим длину отрезка $MN$:

$MN = AC \cdot \frac{5}{7}$.

Подставим известное значение $AC = 14 \text{ см}$:

$MN = 14 \text{ см} \cdot \frac{5}{7} = \frac{14 \cdot 5}{7} = 2 \cdot 5 = 10 \text{ см}$.

Ответ: $10 \text{ см}$.