Номер 144, страница 56 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

144. В окружность радиуса $R$ вписан равносторонний треугольник $ABC$. Найдите сумму $MA^2 + MB^2 + MC^2$, где $M$ – произвольная точка окружности.

Дано:

Окружность радиуса $R$.

Равносторонний треугольник $ABC$ вписан в эту окружность.

$M$ - произвольная точка на окружности.

Найти:

Сумму $MA^2 + MB^2 + MC^2$.

Перевод в СИ:

Единицы измерения не требуются, так как $R$ - это радиус, и ответ будет выражен через $R^2$.

Решение:

Для решения задачи удобно использовать систему координат. Пусть центр окружности совпадает с началом координат $(0,0)$.

Так как треугольник $ABC$ равносторонний и вписан в окружность, его вершины можно представить как точки на окружности, равномерно распределенные по углу. Пусть радиус окружности равен $R$.

Расположим вершины треугольника следующим образом:

• $A = (R\cos(0), R\sin(0)) = (R, 0)$

• $B = (R\cos(2\pi/3), R\sin(2\pi/3)) = (-R/2, R\sqrt{3}/2)$

• $C = (R\cos(4\pi/3), R\sin(4\pi/3)) = (-R/2, -R\sqrt{3}/2)$

Пусть $M$ - произвольная точка на окружности с координатами $(x_M, y_M)$. Поскольку $M$ лежит на окружности радиуса $R$ с центром в начале координат, $x_M^2 + y_M^2 = R^2$. Мы можем параметризовать точку $M$ как $(R\cos\theta, R\sin\theta)$ для некоторого угла $\theta$.

Найдем квадраты расстояний от точки $M$ до вершин $A$, $B$, $C$ по формуле расстояния между двумя точками $d^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2$.

Для $MA^2$:$MA^2 = (R\cos\theta - R)^2 + (R\sin\theta - 0)^2$$MA^2 = R^2(\cos^2\theta - 2\cos\theta + 1) + R^2\sin^2\theta$$MA^2 = R^2(\cos^2\theta + \sin^2\theta - 2\cos\theta + 1)$Поскольку $\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$, получаем:$MA^2 = R^2(1 - 2\cos\theta + 1) = R^2(2 - 2\cos\theta)$

Для $MB^2$:$MB^2 = (R\cos\theta - R\cos(2\pi/3))^2 + (R\sin\theta - R\sin(2\pi/3))^2$$MB^2 = R^2[(\cos\theta - \cos(2\pi/3))^2 + (\sin\theta - \sin(2\pi/3))^2]$$MB^2 = R^2[\cos^2\theta - 2\cos\theta\cos(2\pi/3) + \cos^2(2\pi/3) + \sin^2\theta - 2\sin\theta\sin(2\pi/3) + \sin^2(2\pi/3)]$$MB^2 = R^2[2 - 2(\cos\theta\cos(2\pi/3) + \sin\theta\sin(2\pi/3))]$Используя формулу косинуса разности углов $\cos(A-B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B$:$MB^2 = R^2[2 - 2\cos(\theta - 2\pi/3)]$}

Для $MC^2$:$MC^2 = (R\cos\theta - R\cos(4\pi/3))^2 + (R\sin\theta - R\sin(4\pi/3))^2$Аналогично:$MC^2 = R^2[2 - 2\cos(\theta - 4\pi/3)]$

Теперь сложим эти выражения:

$S = MA^2 + MB^2 + MC^2$$S = R^2(2 - 2\cos\theta) + R^2(2 - 2\cos(\theta - 2\pi/3)) + R^2(2 - 2\cos(\theta - 4\pi/3))$$S = R^2[6 - 2(\cos\theta + \cos(\theta - 2\pi/3) + \cos(\theta - 4\pi/3))]$

Рассмотрим сумму косинусов: $\cos\theta + \cos(\theta - 2\pi/3) + \cos(\theta - 4\pi/3)$.

Используем формулу $\cos(X-Y) = \cos X \cos Y + \sin X \sin Y$:$\cos(\theta - 2\pi/3) = \cos\theta \cos(2\pi/3) + \sin\theta \sin(2\pi/3) = \cos\theta(-1/2) + \sin\theta(\sqrt{3}/2)$$\cos(\theta - 4\pi/3) = \cos\theta \cos(4\pi/3) + \sin\theta \sin(4\pi/3) = \cos\theta(-1/2) + \sin\theta(-\sqrt{3}/2)$

Сумма косинусов равна:$\cos\theta + (\cos\theta(-1/2) + \sin\theta(\sqrt{3}/2)) + (\cos\theta(-1/2) + \sin\theta(-\sqrt{3}/2))$$= \cos\theta - (1/2)\cos\theta + (\sqrt{3}/2)\sin\theta - (1/2)\cos\theta - (\sqrt{3}/2)\sin\theta = 0$

Таким образом, сумма косинусов равна нулю.

Подставим это значение в выражение для $S$:

$S = R^2[6 - 2(0)] = 6R^2$

Другой способ решения задачи - использование комплексных чисел.

Пусть центр окружности находится в начале координат комплексной плоскости. Вершины равностороннего треугольника $A, B, C$ и точка $M$ на окружности могут быть представлены комплексными числами $a, b, c, m$ соответственно. Модули этих комплексных чисел равны радиусу окружности: $|a|=|b|=|c|=|m|=R$.

Без потери общности, можно расположить вершины треугольника следующим образом:$a = R$$b = R e^{i 2\pi/3}$$c = R e^{i 4\pi/3}$

Точка $M$ может быть представлена как $m = R e^{i\theta}$ для некоторого угла $\theta$.

Требуется найти $MA^2 + MB^2 + MC^2$. В терминах комплексных чисел это $|m-a|^2 + |m-b|^2 + |m-c|^2$.

Напомним, что для комплексного числа $z$, $|z|^2 = z\bar{z}$.Тогда $|m-a|^2 = (m-a)(\bar{m}-\bar{a}) = m\bar{m} - m\bar{a} - a\bar{m} + a\bar{a} = |m|^2 + |a|^2 - (m\bar{a} + a\bar{m})$.Поскольку $|m|=R$ и $|a|=R$,$MA^2 = |m-a|^2 = R^2 + R^2 - (m\bar{a} + a\bar{m}) = 2R^2 - (m\bar{a} + a\bar{m})$

Аналогично:$MB^2 = |m-b|^2 = 2R^2 - (m\bar{b} + b\bar{m})$$MC^2 = |m-c|^2 = 2R^2 - (m\bar{c} + c\bar{m})$

Сложим эти выражения:$S = MA^2 + MB^2 + MC^2 = (2R^2 - (m\bar{a} + a\bar{m})) + (2R^2 - (m\bar{b} + b\bar{m})) + (2R^2 - (m\bar{c} + c\bar{m}))$$S = 6R^2 - (m\bar{a} + m\bar{b} + m\bar{c} + a\bar{m} + b\bar{m} + c\bar{m})$$S = 6R^2 - (m(\bar{a} + \bar{b} + \bar{c}) + \bar{m}(a + b + c))$

Сумма вершин равностороннего треугольника, расположенного симметрично относительно начала координат, равна нулю. То есть $a+b+c = 0$.$a+b+c = R + R e^{i 2\pi/3} + R e^{i 4\pi/3} = R(1 + \cos(2\pi/3) + i\sin(2\pi/3) + \cos(4\pi/3) + i\sin(4\pi/3))$$a+b+c = R(1 - 1/2 + i\sqrt{3}/2 - 1/2 - i\sqrt{3}/2) = R(0) = 0$

Следовательно, и сопряженная сумма $\bar{a}+\bar{b}+\bar{c} = 0$.

Подставляем это в выражение для $S$:

$S = 6R^2 - (m(0) + \bar{m}(0))$$S = 6R^2 - 0$$S = 6R^2$

Оба метода дают один и тот же результат.

$MA^2 + MB^2 + MC^2 = 6R^2$