Номер 147, страница 56 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

147. Даны точки A и B. Постройте фигуру, состоящую из множества всех точек X, таких, что:

а) $|\vec{XA} + \vec{XB}| = |\vec{XA} - \vec{XB}|$;

б) $|\vec{AB} - \vec{AX}| = |\vec{AB}|$;

в) $|\vec{BA} + \vec{AX}| = |\vec{AX}|$.

Дано:

Даны точки $A$ и $B$.

Найти:

Построить фигуру, состоящую из множества всех точек $X$, удовлетворяющих заданным условиям.

Решение:

а) $| \vec{XA} + \vec{XB} | = | \vec{XA} - \vec{XB} |$

Пусть $M$ – середина отрезка $AB$. По свойству сложения векторов для любой точки $X$ справедливо соотношение: $ \vec{XA} + \vec{XB} = 2 \vec{XM} $.

Разность векторов $ \vec{XA} - \vec{XB} $ может быть переписана как $ \vec{XA} + \vec{BX} $. По правилу треугольника (или правилу Шаля) $ \vec{BX} + \vec{XA} = \vec{BA} $.

Подставляем эти векторные выражения в исходное уравнение:

$ |2 \vec{XM}| = |\vec{BA}| $

Используя свойство длины вектора ($ |k \vec{v}| = |k| |\vec{v}| $) и то, что длина вектора $ |\vec{BA}| $ равна длине отрезка $AB$:

$ 2 |\vec{XM}| = AB $

$ 2 \cdot XM = AB $

Отсюда находим расстояние от точки $X$ до точки $M$:

$ XM = \frac{1}{2} AB $

Это означает, что все точки $X$ находятся на одинаковом расстоянии от фиксированной точки $M$ (середины отрезка $AB$). Множество таких точек образует окружность.

Ответ: Окружность с центром в середине отрезка $AB$ и радиусом, равным половине длины отрезка $AB$.

б) $| \vec{AB} - \vec{AX} | = | \vec{AB} |$

Рассмотрим выражение в левой части уравнения: $ \vec{AB} - \vec{AX} $. Используя правило вычитания векторов (или представление векторов через разность радиус-векторов, например, $ \vec{PQ} = \vec{Q} - \vec{P} $), получаем:

$ \vec{AB} - \vec{AX} = (\vec{B} - \vec{A}) - (\vec{X} - \vec{A}) = \vec{B} - \vec{A} - \vec{X} + \vec{A} = \vec{B} - \vec{X} $

Вектор $ \vec{B} - \vec{X} $ это вектор $ \vec{XB} $.

Теперь подставим это в исходное уравнение:

$ |\vec{XB}| = |\vec{AB}| $

Это означает, что длина вектора $ \vec{XB} $ равна длине вектора $ \vec{AB} $. В терминах расстояний между точками:

$ XB = AB $

Следовательно, точка $X$ находится на постоянном расстоянии от точки $B$, причем это расстояние равно длине отрезка $AB$. Множество таких точек образует окружность.

Ответ: Окружность с центром в точке $B$ и радиусом, равным длине отрезка $AB$.

в) $| \vec{BA} + \vec{AX} | = | \vec{AX} |$

Рассмотрим выражение в левой части уравнения: $ \vec{BA} + \vec{AX} $. По правилу сложения векторов (правило треугольника или правило Шаля), если конец одного вектора совпадает с началом другого, то их сумма – это вектор, идущий от начала первого к концу второго. В данном случае:

$ \vec{BA} + \vec{AX} = \vec{BX} $

Теперь подставим это в исходное уравнение:

$ |\vec{BX}| = |\vec{AX}| $

Это означает, что длина вектора $ \vec{BX} $ равна длине вектора $ \vec{AX} $. В терминах расстояний между точками:

$ BX = AX $

Следовательно, точка $X$ равноудалена от точек $A$ и $B$. Множество всех точек, равноудаленных от двух заданных точек, является серединным перпендикуляром к отрезку, соединяющему эти точки.

Ответ: Серединный перпендикуляр к отрезку $AB$.