Номер 142, страница 56 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

142. Найдите длину вектора, равного:

а) сумме векторов $ \vec{a} $ и $ \vec{b} $, если $ |\vec{a}|=5, |\vec{b}|=3, \angle(\vec{a},\vec{b})=60^{\circ} $;

б) разности $ \vec{b} - \vec{a} $ векторов, если $ |\vec{a}|=\sqrt{2}, |\vec{b}|=8, \angle(\vec{a},\vec{b})=45^{\circ} $.

a) сумме векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$

Дано:

$|\vec{a}| = 5$

$|\vec{b}| = 3$

$\angle(\vec{a},\vec{b}) = 60°$

Найти:

$|\vec{a}+\vec{b}|$

Решение:

Для нахождения длины суммы двух векторов используется формула, основанная на скалярном произведении:

$|\vec{a}+\vec{b}|^2 = (\vec{a}+\vec{b}) \cdot (\vec{a}+\vec{b})$

Раскроем скобки:

$|\vec{a}+\vec{b}|^2 = \vec{a} \cdot \vec{a} + 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + \vec{b} \cdot \vec{b}$

По определению скалярного произведения $\vec{x} \cdot \vec{x} = |\vec{x}|^2$ и $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos(\angle(\vec{a},\vec{b}))$. Подставим эти выражения в формулу:

$|\vec{a}+\vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 + 2|\vec{a}||\vec{b}|\cos(\angle(\vec{a},\vec{b})) + |\vec{b}|^2$

Теперь подставим заданные значения:

$|\vec{a}+\vec{b}|^2 = 5^2 + 2 \cdot 5 \cdot 3 \cdot \cos(60°)$ + $3^2$

Известно, что $\cos(60°) = \frac{1}{2}$.

$|\vec{a}+\vec{b}|^2 = 25 + 2 \cdot 15 \cdot \frac{1}{2} + 9$

$|\vec{a}+\vec{b}|^2 = 25 + 15 + 9$

$|\vec{a}+\vec{b}|^2 = 49$

Извлечем квадратный корень, чтобы найти длину вектора:

$|\vec{a}+\vec{b}| = \sqrt{49}$

$|\vec{a}+\vec{b}| = 7$

Ответ: 7

б) разности $\vec{b}-\vec{a}$ векторов

Дано:

$|\vec{a}| = \sqrt{2}$

$|\vec{b}| = 8$

$\angle(\vec{a},\vec{b}) = 45°$

Найти:

$|\vec{b}-\vec{a}|$

Решение:

Для нахождения длины разности двух векторов используется аналогичная формула:

$|\vec{b}-\vec{a}|^2 = (\vec{b}-\vec{a}) \cdot (\vec{b}-\vec{a})$

Раскроем скобки:

$|\vec{b}-\vec{a}|^2 = \vec{b} \cdot \vec{b} - 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + \vec{a} \cdot \vec{a}$

Подставим выражения для скалярных произведений:

$|\vec{b}-\vec{a}|^2 = |\vec{b}|^2 - 2|\vec{a}||\vec{b}|\cos(\angle(\vec{a},\vec{b})) + |\vec{a}|^2$

Теперь подставим заданные значения:

$|\vec{b}-\vec{a}|^2 = 8^2 - 2 \cdot \sqrt{2} \cdot 8 \cdot \cos(45°) + (\sqrt{2})^2$

Известно, что $\cos(45°) = \frac{1}{\sqrt{2}}$.

$|\vec{b}-\vec{a}|^2 = 64 - 16\sqrt{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} + 2$

$|\vec{b}-\vec{a}|^2 = 64 - 16 + 2$

$|\vec{b}-\vec{a}|^2 = 48 + 2$

$|\vec{b}-\vec{a}|^2 = 50$

Извлечем квадратный корень, чтобы найти длину вектора:

$|\vec{b}-\vec{a}| = \sqrt{50}$

Упростим корень:

$|\vec{b}-\vec{a}| = \sqrt{25 \cdot 2}$

$|\vec{b}-\vec{a}| = 5\sqrt{2}$

Ответ: $5\sqrt{2}$