Номер 140, страница 55 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

140. Докажите, применяя векторы, что диагонали ромба перпендикулярны.

Дано:

Рассмотрим ромб ABCD. Пусть смежные стороны ромба представлены векторами $\vec{AB} = \vec{a}$ и $\vec{AD} = \vec{b}$.

По определению ромба, все его стороны равны по длине. Следовательно, длины векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ равны: $|\vec{a}| = |\vec{b}|$.

Найти:

Доказать, что диагонали ромба перпендикулярны, используя векторный метод. Это означает, что их скалярное произведение должно быть равно нулю.

Решение:

Обозначим векторы, соответствующие диагоналям ромба. Одна диагональ - это вектор $\vec{AC}$. Используя правило сложения векторов (правило треугольника), вектор $\vec{AC}$ можно выразить как сумму векторов смежных сторон, исходящих из одной вершины:

$\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{BC}$

Так как ромб является частным случаем параллелограмма, противоположные стороны равны и параллельны, то есть $\vec{BC} = \vec{AD}$. Таким образом:

$\vec{AC} = \vec{a} + \vec{b}$

Вторая диагональ - это вектор $\vec{DB}$. Этот вектор можно найти как разность векторов, исходящих из одной вершины, к которой не приходит диагональ, или по правилу треугольника:

$\vec{DB} = \vec{AB} - \vec{AD}$

Следовательно:

$\vec{DB} = \vec{a} - \vec{b}$

Чтобы доказать, что диагонали перпендикулярны, необходимо вычислить их скалярное произведение и показать, что оно равно нулю. Вычислим скалярное произведение векторов $\vec{AC}$ и $\vec{DB}$:

$\vec{AC} \cdot \vec{DB} = (\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b})$

Используем свойства скалярного произведения (дистрибутивность и коммутативность):

$\vec{AC} \cdot \vec{DB} = \vec{a} \cdot \vec{a} - \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{a} - \vec{b} \cdot \vec{b}$

Так как $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}$, члены $-\vec{a} \cdot \vec{b}$ и $+\vec{b} \cdot \vec{a}$ взаимно уничтожаются:

$\vec{AC} \cdot \vec{DB} = \vec{a} \cdot \vec{a} - \vec{b} \cdot \vec{b}$

Мы знаем, что скалярное произведение вектора на самого себя равно квадрату его длины: $\vec{x} \cdot \vec{x} = |\vec{x}|^2$. Применим это свойство:

$\vec{AC} \cdot \vec{DB} = |\vec{a}|^2 - |\vec{b}|^2$

Поскольку ромб по определению имеет все стороны равной длины, мы имеем $|\vec{a}| = |\vec{b}|$. Возведя обе части этого равенства в квадрат, получим $|\vec{a}|^2 = |\vec{b}|^2$.

Подставим это условие в выражение для скалярного произведения:

$\vec{AC} \cdot \vec{DB} = |\vec{a}|^2 - |\vec{a}|^2 = 0$

Поскольку скалярное произведение векторов диагоналей ромба равно нулю, это доказывает, что диагонали ромба перпендикулярны.

Ответ:

Диагонали ромба перпендикулярны.