Номер 106, страница 50 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

106. Даны точки A(-4; -4), B(-2; 4), C(6; 6), D(4; -2) и середины отрезков AC и CD точки M и N – соответственно. Найдите скалярное произведение векторов:
а) $ \vec{AB} $ и $ \vec{BC} $;
б) $ \vec{AC} $ и $ \vec{BD} $;
в) $ \vec{MC} $ и $ \vec{AN} $.

Дано

Координаты точек: $A(-4; -4)$, $B(-2; 4)$, $C(6; 6)$, $D(4; -2)$.

Точка $M$ – середина отрезка $AC$.

Точка $N$ – середина отрезка $CD$.

Найти

Скалярные произведения векторов:

a) $\vec{AB}$ и $\vec{BC}$

б) $\vec{AC}$ и $\vec{BD}$

в) $\vec{MC}$ и $\vec{AN}$

Решение

Сначала найдем координаты середин отрезков $M$ и $N$. Координаты середины отрезка $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$ вычисляются по формуле $\left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\right)$.

Для точки $M$ (середина $AC$):

$M_x = \frac{-4+6}{2} = \frac{2}{2} = 1$

$M_y = \frac{-4+6}{2} = \frac{2}{2} = 1$

Таким образом, $M(1; 1)$.

Для точки $N$ (середина $CD$):

$N_x = \frac{6+4}{2} = \frac{10}{2} = 5$

$N_y = \frac{6+(-2)}{2} = \frac{4}{2} = 2$

Таким образом, $N(5; 2)$.

Далее найдем координаты всех необходимых векторов. Координаты вектора $\vec{PQ}$ из точки $P(x_P, y_P)$ в точку $Q(x_Q, y_Q)$ вычисляются как $(x_Q - x_P, y_Q - y_P)$.

а) $\vec{AB}$ и $\vec{BC}$

Вектор $\vec{AB}$: $B(-2; 4)$, $A(-4; -4)$

$\vec{AB} = (-2 - (-4); 4 - (-4)) = (2; 8)$

Вектор $\vec{BC}$: $C(6; 6)$, $B(-2; 4)$

$\vec{BC} = (6 - (-2); 6 - 4) = (8; 2)$

Скалярное произведение векторов $\vec{a}=(a_x, a_y)$ и $\vec{b}=(b_x, b_y)$ равно $a_x b_x + a_y b_y$.

$\vec{AB} \cdot \vec{BC} = (2)(8) + (8)(2) = 16 + 16 = 32$

Ответ: $32$

б) $\vec{AC}$ и $\vec{BD}$

Вектор $\vec{AC}$: $C(6; 6)$, $A(-4; -4)$

$\vec{AC} = (6 - (-4); 6 - (-4)) = (10; 10)$

Вектор $\vec{BD}$: $D(4; -2)$, $B(-2; 4)$

$\vec{BD} = (4 - (-2); -2 - 4) = (6; -6)$

Скалярное произведение:

$\vec{AC} \cdot \vec{BD} = (10)(6) + (10)(-6) = 60 - 60 = 0$

Ответ: $0$

в) $\vec{MC}$ и $\vec{AN}$

Вектор $\vec{MC}$: $C(6; 6)$, $M(1; 1)$

$\vec{MC} = (6 - 1; 6 - 1) = (5; 5)$

Вектор $\vec{AN}$: $N(5; 2)$, $A(-4; -4)$

$\vec{AN} = (5 - (-4); 2 - (-4)) = (9; 6)$

Скалярное произведение:

$\vec{MC} \cdot \vec{AN} = (5)(9) + (5)(6) = 45 + 30 = 75$

Ответ: $75$