Номер 103, страница 50 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

103. В ромбе MNPK $\angle M = 60^\circ$, O – точка пересечения диагоналей (рисунок 78). Найдите угол между векторами:

а) $\vec{MN}$ и $\vec{NP}$;

б) $\vec{MK}$ и $\vec{PK}$;

в) $\vec{MN}$ и $\vec{PK}$;

г) $\vec{MK}$ и $\vec{NP}$;

д) $\vec{NO}$ и $\vec{PO}$.

Рисунок 78

Дано:

Ромб $MNPK$.

$\angle M = 60^\circ$.

$O$ — точка пересечения диагоналей.

Найти:

а) угол между векторами $\vec{MN}$ и $\vec{NP}$

б) угол между векторами $\vec{MK}$ и $\vec{PK}$

в) угол между векторами $\vec{MN}$ и $\vec{PK}$

г) угол между векторами $\vec{MK}$ и $\vec{NP}$

д) угол между векторами $\vec{NO}$ и $\vec{PO}$

Решение:

Воспользуемся свойствами ромба:

• Все стороны ромба равны. Обозначим длину стороны за $s$. Таким образом, $MN = NP = PK = KM = s$.

• Противолежащие углы ромба равны, а сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна $180^\circ$. Так как $\angle M = 60^\circ$, то:

  • $\angle P = \angle M = 60^\circ$ (противолежащие углы).

  • $\angle N = 180^\circ - \angle M = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$ (прилежащие к стороне $MN$).

  • $\angle K = \angle N = 120^\circ$ (противолежащие углы).

• Диагонали ромба взаимно перпендикулярны.

• Диагонали ромба делят его углы пополам.

• Векторный угол между двумя векторами определяется как наименьший угол ($0^\circ \le \phi \le 180^\circ$) между ними, когда их начальные точки совмещены.

а) $\vec{MN}$ и $\vec{NP}$

Вектор $\vec{MN}$ направлен от $M$ к $N$. Вектор $\vec{NP}$ направлен от $N$ к $P$. Чтобы найти угол между ними, совместим их начальные точки. Перенесем вектор $\vec{NP}$ так, чтобы его начальная точка совпала с $M$. В ромбе $MNPK$ стороны $NP$ и $MK$ параллельны и имеют одинаковую длину, поэтому $\vec{NP} = \vec{MK}$.

Таким образом, мы ищем угол между векторами $\vec{MN}$ и $\vec{MK}$. Их начальная точка $M$ общая. Угол между ними — это угол $\angle NMK$, который является углом ромба при вершине $M$.

$\angle NMK = \angle M = 60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$

б) $\vec{MK}$ и $\vec{PK}$

Вектор $\vec{MK}$ направлен от $M$ к $K$. Вектор $\vec{PK}$ направлен от $P$ к $K$. Чтобы найти угол между ними, совместим их начальные точки. Удобно взять точку $K$ как общую начальную точку. Тогда мы будем искать угол между векторами $\vec{KM}$ и $\vec{KP}$. Угол между ними — это угол $\angle MKP$, который является углом ромба при вершине $K$.

$\angle MKP = \angle K = 120^\circ$.

Ответ: $120^\circ$

в) $\vec{MN}$ и $\vec{PK}$

Вектор $\vec{MN}$ направлен от $M$ к $N$. Вектор $\vec{PK}$ направлен от $P$ к $K$. В ромбе $MNPK$ стороны $MN$ и $PK$ являются противолежащими сторонами.

Согласно обозначению вершин $M, N, P, K$ по часовой или против часовой стрелки: $\vec{MN}$ и $\vec{PK}$ направлены противоположно друг другу ($\vec{MN} = -\vec{PK}$). Например, если $\vec{MN}$ направлен "вверх", то $\vec{PK}$ направлен "вниз".

Угол между противоположно направленными векторами равен $180^\circ$.

Ответ: $180^\circ$

г) $\vec{MK}$ и $\vec{NP}$

Вектор $\vec{MK}$ направлен от $M$ к $K$. Вектор $\vec{NP}$ направлен от $N$ к $P$. В ромбе $MNPK$ стороны $MK$ и $NP$ являются противолежащими сторонами.

Согласно обозначению вершин $M, N, P, K$ по часовой или против часовой стрелки: $\vec{MK}$ и $\vec{NP}$ направлены в одну и ту же сторону ($\vec{MK} = \vec{NP}$). Например, если $\vec{MK}$ направлен "вправо", то $\vec{NP}$ также направлен "вправо".

Угол между сонаправленными векторами равен $0^\circ$.

Ответ: $0^\circ$

д) $\vec{NO}$ и $\vec{PO}$

Вектор $\vec{NO}$ лежит на диагонали $NK$. Вектор $\vec{PO}$ лежит на диагонали $MP$. Точка $O$ является точкой пересечения диагоналей.

Известно, что диагонали ромба взаимно перпендикулярны. Следовательно, диагонали $NK$ и $MP$ перпендикулярны.

Векторы $\vec{NO}$ и $\vec{PO}$ начинаются от точек $N$ и $P$ соответственно и направлены к точке $O$. Если их начальные точки совместить в $O$, то мы будем искать угол между векторами $\vec{ON}$ и $\vec{OP}$. Поскольку диагонали перпендикулярны, угол $\angle NOP$ равен $90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$