Номер 186, страница 85 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

186. Города Актобе, Петропавловск, Кызылорда образуют $ \Delta APK $, периметр которого на карте, выполненной в масштабе $ 1 : 10\,000\,000 $, равен 36,4 см. Найти расстояние между этими городами в действительности, если расстояние $ AP $ на 160 км меньше $ PK $ и на 150 км больше $ AK $.

Дано:

Масштаб карты: $M = 1 : 10 000 000$

Периметр треугольника на карте: $P_{карта} = 36.4 \text{ см}$

Расстояние $AP$ на $160 \text{ км}$ меньше расстояния $PK$: $AP = PK - 160 \text{ км}$

Расстояние $AP$ на $150 \text{ км}$ больше расстояния $AK$: $AP = AK + 150 \text{ км}$

Перевод данных в СИ:

Масштаб $1 : 10 000 000$ означает, что $1 \text{ см}$ на карте соответствует $10 000 000 \text{ см}$ в действительности.

Переведем $10 000 000 \text{ см}$ в метры: $10 000 000 \text{ см} = 10 000 000 \times 10^{-2} \text{ м} = 100 000 \text{ м}$.

Таким образом, $1 \text{ см}$ на карте соответствует $100 000 \text{ м}$ в действительности.

Периметр на карте: $P_{карта} = 36.4 \text{ см}$.

Действительный периметр: $P_{действ} = P_{карта} \times 10 000 000 = 36.4 \text{ см} \times 10 000 000 = 364 000 000 \text{ см} = 3 640 000 \text{ м}$.

Разница расстояний: $160 \text{ км} = 160 \times 1000 \text{ м} = 160 000 \text{ м}$.

Разница расстояний: $150 \text{ км} = 150 \times 1000 \text{ м} = 150 000 \text{ м}$.

Найти:

Расстояния между городами в действительности ($AP_{действ}$, $PK_{действ}$, $AK_{действ}$).

Решение:

1. Определим действительный периметр треугольника.

Масштаб карты $1 : 10 000 000$ означает, что $1 \text{ см}$ на карте соответствует $10 000 000 \text{ см}$ в действительности.

Переведем $10 000 000 \text{ см}$ в километры для удобства, так как остальные данные даны в километрах: $10 000 000 \text{ см} = 10 000 000 / 100 000 \text{ км} = 100 \text{ км}$.

Таким образом, $1 \text{ см}$ на карте соответствует $100 \text{ км}$ в действительности.

Действительный периметр $P_{действ}$ равен периметру на карте, умноженному на масштабный коэффициент:

$P_{действ} = 36.4 \text{ см} \times 100 \text{ км/см} = 3640 \text{ км}$.

2. Составим систему уравнений для длин сторон треугольника.

Пусть действительная длина стороны $AP$ равна $x \text{ км}$.

Из условия задачи даны соотношения между сторонами:

Расстояние $AP$ на $160 \text{ км}$ меньше $PK$: $x = PK - 160 \text{ км} \Rightarrow PK = x + 160 \text{ км}$.

Расстояние $AP$ на $150 \text{ км}$ больше $AK$: $x = AK + 150 \text{ км} \Rightarrow AK = x - 150 \text{ км}$.

Периметр треугольника равен сумме длин его сторон: $P_{действ} = AP + PK + AK$.

Подставим значения и выражения для сторон в формулу периметра:

$3640 = x + (x + 160) + (x - 150)$.

3. Решим полученное уравнение относительно $x$:

$3640 = x + x + 160 + x - 150$

$3640 = 3x + 10$

$3x = 3640 - 10$

$3x = 3630$

$x = \frac{3630}{3}$

$x = 1210$.

Таким образом, действительное расстояние $AP_{действ} = 1210 \text{ км}$.

4. Найдем длины остальных сторон, используя найденное значение $x$:

Расстояние $PK_{действ} = x + 160 = 1210 + 160 = 1370 \text{ км}$.

Расстояние $AK_{действ} = x - 150 = 1210 - 150 = 1060 \text{ км}$.

Ответ:

Расстояние между Актобе и Петропавловском ($AP$) составляет $1210 \text{ км}$.

Расстояние между Петропавловском и Кызылордой ($PK$) составляет $1370 \text{ км}$.

Расстояние между Актобе и Кызылордой ($AK$) составляет $1060 \text{ км}$.