Номер 198, страница 92 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

198. a) В $\Delta ABC$ известно, что $AB : BC = 4 : 5$, отрезок $BK$ – его биссектриса. Найдите отношение площади $\Delta ABK$ к площади $\Delta CBK$.

б) Прямая, параллельная основанию треугольника, делит его на части, площади которых относятся как $4 : 5$, считая от вершины. В каком отношении она делит боковые стороны треугольника?

а)

Дано:

в треугольнике $\triangle ABC$ известно;
отрезок $BK$ – биссектриса угла $B$;
отношение сторон $AB : BC = 4 : 5$.

Найти:

отношение площади $\triangle ABK$ к площади $\triangle CBK$, то есть $S_{\triangle ABK} : S_{\triangle CBK}$.

Решение:

Площадь любого треугольника можно вычислить по формуле $S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}$.
Рассмотрим треугольники $\triangle ABK$ и $\triangle CBK$. Они имеют общую вершину $B$, и их основания $AK$ и $KC$ лежат на одной прямой $AC$. Это означает, что высота, опущенная из вершины $B$ на прямую $AC$, является общей для обоих треугольников. Обозначим эту высоту через $h$.
Тогда площади треугольников $\triangle ABK$ и $\triangle CBK$ будут выражаться следующим образом:
$S_{\triangle ABK} = \frac{1}{2} \cdot AK \cdot h$
$S_{\triangle CBK} = \frac{1}{2} \cdot KC \cdot h$
Найдем отношение этих площадей:
$\frac{S_{\triangle ABK}}{S_{\triangle CBK}} = \frac{\frac{1}{2} \cdot AK \cdot h}{\frac{1}{2} \cdot KC \cdot h} = \frac{AK}{KC}$.
Согласно теореме о биссектрисе угла треугольника, биссектриса угла делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника. В нашем случае, биссектриса $BK$ делит сторону $AC$ на отрезки $AK$ и $KC$ таким образом, что:
$\frac{AK}{KC} = \frac{AB}{BC}$.
По условию задачи нам дано отношение $AB : BC = 4 : 5$.
Следовательно, $\frac{AK}{KC} = \frac{4}{5}$.
Подставляя это отношение в выражение для отношения площадей, получаем:
$\frac{S_{\triangle ABK}}{S_{\triangle CBK}} = \frac{4}{5}$.

Ответ: $4 : 5$

б)

Дано:

треугольник (пусть будет $\triangle ABC$, с вершиной $A$ и основанием $BC$);
прямая, параллельная основанию $BC$, делит треугольник на две части;
площади этих частей относятся как $4 : 5$, считая от вершины.

Найти:

в каком отношении прямая делит боковые стороны треугольника.

Решение:

Пусть исходный треугольник будет $\triangle ABC$. Прямая, параллельная основанию $BC$, пересекает боковые стороны $AB$ и $AC$ в точках $D$ и $E$ соответственно. Таким образом, образуется меньший треугольник $\triangle ADE$ и трапеция $BCED$.
Поскольку прямая $DE$ параллельна основанию $BC$, треугольник $\triangle ADE$ подобен треугольнику $\triangle ABC$.
Известно, что отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия, который равен отношению соответствующих сторон:
$\frac{S_{\triangle ADE}}{S_{\triangle ABC}} = \left(\frac{AD}{AB}\right)^2 = \left(\frac{AE}{AC}\right)^2$.
По условию задачи, площади частей относятся как $4 : 5$, считая от вершины. Это означает, что площадь малого треугольника $\triangle ADE$ относится к площади трапеции $BCED$ как $4 : 5$.
Пусть $S_{\triangle ADE} = 4k$ и $S_{трапеции BCED} = 5k$ для некоторого положительного числа $k$.
Тогда общая площадь исходного треугольника $\triangle ABC$ будет равна сумме площадей этих двух частей:
$S_{\triangle ABC} = S_{\triangle ADE} + S_{трапеции BCED} = 4k + 5k = 9k$.
Теперь найдем отношение площади меньшего треугольника к площади большего треугольника:
$\frac{S_{\triangle ADE}}{S_{\triangle ABC}} = \frac{4k}{9k} = \frac{4}{9}$.
Используя свойство подобных треугольников:
$\left(\frac{AD}{AB}\right)^2 = \frac{4}{9}$.
Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения (поскольку длины отрезков положительны):
$\frac{AD}{AB} = \sqrt{\frac{4}{9}} = \frac{2}{3}$.
Это отношение означает, что отрезок $AD$ составляет $2$ части, а вся сторона $AB$ составляет $3$ части. Следовательно, отрезок $DB$ (часть стороны от линии до основания) составляет $AB - AD = 3 - 2 = 1$ часть.
Таким образом, прямая делит боковую сторону $AB$ в отношении $AD : DB = 2 : 1$, считая от вершины.
Аналогично для другой боковой стороны $AC$:
$\left(\frac{AE}{AC}\right)^2 = \frac{4}{9}$.
$\frac{AE}{AC} = \sqrt{\frac{4}{9}} = \frac{2}{3}$.
Следовательно, отрезок $AE$ составляет $2$ части, а вся сторона $AC$ составляет $3$ части. Значит, отрезок $EC$ составляет $AC - AE = 3 - 2 = 1$ часть.
Таким образом, прямая делит боковую сторону $AC$ в отношении $AE : EC = 2 : 1$, считая от вершины.

Ответ: $2 : 1$