Номер 205, страница 96 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

205. На стороне $AB$ параллелограмма $ABCD$ отмечена точка $M$ так, что $AM : MB = 1 : 2$. Найдите отрезки, на которые делится диагональ $AC$ отрезком $MD$, если $AC = 16$ см.

Дано:

Параллелограмм $ABCD$.

Точка $M$ на стороне $AB$ такая, что $AM : MB = 1 : 2$.

Диагональ $AC = 16$ см.

Перевод в СИ:

Так как задача геометрическая и все длины даны в сантиметрах, перевод в систему СИ (метры) не является строго необходимым для получения корректного ответа в сантиметрах. Однако, для полноты представления:

$AC = 16 \text{ см} = 0.16 \text{ м}$.

Найти:

Длины отрезков, на которые делится диагональ $AC$ отрезком $MD$. Пусть точка пересечения $AC$ и $MD$ будет $O$. Требуется найти $AO$ и $OC$.

Решение:

Пусть $O$ - точка пересечения диагонали $AC$ и отрезка $MD$.

Рассмотрим треугольники $\triangle AMO$ и $\triangle CDO$.

Поскольку $ABCD$ - параллелограмм, его противоположные стороны параллельны, то есть $AB \parallel CD$.

Так как точка $M$ лежит на стороне $AB$, то отрезок $AM$ также параллелен стороне $CD$ ($AM \parallel CD$).

Теперь рассмотрим углы в этих двух треугольниках:

• Углы $\angle MAO$ и $\angle DCO$ являются накрест лежащими углами при параллельных прямых $AB$ и $CD$ и секущей $AC$. Следовательно, $\angle MAO = \angle DCO$.
• Углы $\angle AMO$ и $\angle CDO$ являются накрест лежащими углами при параллельных прямых $AB$ и $CD$ и секущей $MD$. Следовательно, $\angle AMO = \angle CDO$.
• Углы $\angle AOM$ и $\angle COD$ являются вертикальными углами. Следовательно, $\angle AOM = \angle COD$.

Поскольку все соответствующие углы треугольников $\triangle AMO$ и $\triangle CDO$ равны, эти треугольники подобны по трем углам (AAA признак подобия).

Из подобия треугольников следует равенство отношений соответствующих сторон:

$\frac{AO}{OC} = \frac{AM}{CD} = \frac{MO}{OD}$

По условию задачи, $AM : MB = 1 : 2$. Это означает, что если $AM = x$, то $MB = 2x$.

Длина стороны $AB$ параллелограмма равна $AM + MB = x + 2x = 3x$.

В параллелограмме противоположные стороны равны, поэтому $CD = AB = 3x$.

Теперь подставим выражения для $AM$ и $CD$ в отношение сторон из подобия треугольников:

$\frac{AO}{OC} = \frac{AM}{CD} = \frac{x}{3x} = \frac{1}{3}$

Это означает, что диагональ $AC$ делится точкой $O$ в отношении $1:3$. Пусть $AO = k$ и $OC = 3k$ для некоторой постоянной $k$.

По условию задачи, длина всей диагонали $AC = 16$ см.

Так как точка $O$ лежит на отрезке $AC$, то $AC = AO + OC$.

Подставим известные значения:

$16 = k + 3k$

$16 = 4k$

Чтобы найти $k$, разделим обе части уравнения на $4$:

$k = \frac{16}{4} = 4 \text{ см}$

Теперь найдем длины отрезков $AO$ и $OC$:

$AO = k = 4 \text{ см}$

$OC = 3k = 3 \times 4 = 12 \text{ см}$

Ответ:

Отрезки, на которые делится диагональ $AC$ отрезком $MD$, равны $4$ см и $12$ см.