Номер 210, страница 97 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

210. В равнобедренный треугольник с боковой стороной 10 см и основанием 6 см вписана окружность. Найдите расстояние между точками касания, принадлежащими боковым сторонам.

Дано:

Равнобедренный треугольник ABC:

• Боковая сторона $AB = AC = a = 10$ см

• Основание $BC = b = 6$ см

• Вписана окружность, касающаяся сторон AB, BC, AC в точках D, E, F соответственно.

Найти:

Расстояние между точками касания, принадлежащими боковым сторонам, то есть длину отрезка $DF$.

Решение:

Пусть данный равнобедренный треугольник будет ABC, где AB и AC - боковые стороны, а BC - основание. Пусть точки касания вписанной окружности со сторонами AB, BC, AC будут D, E, F соответственно. Требуется найти длину отрезка DF.

Для начала вычислим полупериметр $s$ треугольника ABC:

$s = \frac{AB + AC + BC}{2} = \frac{a + a + b}{2} = \frac{2a + b}{2}$

Подставляем числовые значения:

$s = \frac{2 \cdot 10 \text{ см} + 6 \text{ см}}{2} = \frac{20 \text{ см} + 6 \text{ см}}{2} = \frac{26 \text{ см}}{2} = 13 \text{ см}$.

Свойства вписанной окружности гласят, что длины отрезков касательных, проведенных из одной вершины до точек касания на прилежащих сторонах, равны. Для вершины A имеем:

$AD = AF = s - BC = s - b$

Подставляем значения:

$AD = AF = 13 \text{ см} - 6 \text{ см} = 7 \text{ см}$.

Теперь найдем косинус угла A (угол при вершине A) в треугольнике ABC. Воспользуемся теоремой косинусов:

$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos A$

$b^2 = a^2 + a^2 - 2 \cdot a \cdot a \cdot \cos A$

$b^2 = 2a^2 - 2a^2 \cos A$

Из этого уравнения выразим $\cos A$:

$2a^2 \cos A = 2a^2 - b^2$

$\cos A = \frac{2a^2 - b^2}{2a^2}$

Подставляем числовые значения:

$\cos A = \frac{2 \cdot (10 \text{ см})^2 - (6 \text{ см})^2}{2 \cdot (10 \text{ см})^2} = \frac{2 \cdot 100 - 36}{2 \cdot 100} = \frac{200 - 36}{200} = \frac{164}{200}$

Сокращаем дробь, деля числитель и знаменатель на 4:

$\cos A = \frac{164 \div 4}{200 \div 4} = \frac{41}{50}$.

Теперь рассмотрим треугольник ADF. Это равнобедренный треугольник с известными сторонами $AD = AF = 7$ см и углом A. Мы можем найти длину стороны DF, используя теорему косинусов для треугольника ADF:

$DF^2 = AD^2 + AF^2 - 2 \cdot AD \cdot AF \cdot \cos A$

Подставляем найденные значения:

$DF^2 = (7 \text{ см})^2 + (7 \text{ см})^2 - 2 \cdot 7 \text{ см} \cdot 7 \text{ см} \cdot \frac{41}{50}$

$DF^2 = 49 + 49 - 98 \cdot \frac{41}{50}$

$DF^2 = 98 - \frac{4018}{50}$

$DF^2 = 98 - \frac{2009}{25}$

Приводим к общему знаменателю:

$DF^2 = \frac{98 \cdot 25 - 2009}{25} = \frac{2450 - 2009}{25} = \frac{441}{25}$

Извлекаем квадратный корень из обеих частей уравнения:

$DF = \sqrt{\frac{441}{25}} = \frac{\sqrt{441}}{\sqrt{25}} = \frac{21}{5}$

$DF = 4.2 \text{ см}$.

Ответ:

$4.2$ см