Номер 214, страница 97 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

214. В $\Delta ABC \angle A = 45^\circ, AB = 5\sqrt{2}$ см, $AC = 8$ см, отрезки $MN, NK, KM$ – средние линии треугольника. Найдите площадь $\Delta MNK$.

Дано:

В треугольнике $ABC$:

$ \angle A = 45^\circ $

$ AB = 5\sqrt{2} $ см

$ AC = 8 $ см

Отрезки $MN, NK, KM$ — средние линии треугольника $ABC$.

Перевод в систему СИ:

$ AB = 5\sqrt{2} \times 10^{-2} $ м

$ AC = 8 \times 10^{-2} $ м

Найти:

Площадь $ \Delta MNK $ ($ S_{MNK} $).

Решение:

1.
Для нахождения площади треугольника $ABC$ воспользуемся формулой площади по двум сторонам и углу между ними:
$ S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin(\angle A) $

2.
Подставим данные значения в формулу:
$ S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot (5\sqrt{2} \text{ см}) \cdot (8 \text{ см}) \cdot \sin(45^\circ) $
Мы знаем, что $ \sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} $.
$ S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot 5\sqrt{2} \cdot 8 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} $
$ S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot (5 \cdot 8) \cdot (\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) $
$ S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot 40 \cdot \frac{2}{2} $
$ S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot 40 \cdot 1 $
$ S_{ABC} = 20 \text{ см}^2 $

3.
Треугольник $MNK$ образован средними линиями треугольника $ABC$. Известно, что треугольник, образованный средними линиями другого треугольника, подобен исходному треугольнику с коэффициентом подобия $k = \frac{1}{2}$. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.
Следовательно, $ \frac{S_{MNK}}{S_{ABC}} = k^2 = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4} $.
Отсюда, $ S_{MNK} = \frac{1}{4} S_{ABC} $.

4.
Вычислим площадь $ \Delta MNK $:
$ S_{MNK} = \frac{1}{4} \cdot 20 \text{ см}^2 $
$ S_{MNK} = 5 \text{ см}^2 $

Ответ:

$ 5 \text{ см}^2 $