Номер 218, страница 98 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

218. В $\triangle ABC \angle A = 50^\circ, \angle B = 70^\circ, BH$ и $AK$ – высоты. Докажите, что $\triangle BAC \sim \triangle HKC$ и найдите углы $\triangle HKC$.

Дано:

треугольник $ABC$, $\angle A = 50^\circ$, $\angle B = 70^\circ$. $BH$ и $AK$ — высоты.

Перевод в СИ:

Для углов, заданных в градусах, перевод в систему СИ не требуется, так как градусы являются общепринятой единицей измерения углов в геометрии.

Найти:

Доказать, что $\triangle BAC \sim \triangle HKC$.

Найти углы $\triangle HKC$.

Решение:

Докажите, что $\triangle BAC \sim \triangle HKC$

1. Для начала найдем величину угла $C$ в треугольнике $ABC$. Сумма углов треугольника равна $180^\circ$. Следовательно, $\angle C = 180^\circ - \angle A - \angle B$. Подставим известные значения: $\angle C = 180^\circ - 50^\circ - 70^\circ = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.

2. Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle AKC$ и $\triangle BHC$. Так как $AK$ — высота, то $\angle AKC = 90^\circ$. Так как $BH$ — высота, то $\angle BHC = 90^\circ$.

3. Эти два прямоугольных треугольника, $\triangle AKC$ и $\triangle BHC$, имеют общий угол $\angle C$. Поскольку они оба прямоугольные (имеют угол $90^\circ$) и имеют общий острый угол $\angle C$, они подобны по двум углам (критерий подобия АА): $\triangle AKC \sim \triangle BHC$.

4. Из подобия $\triangle AKC \sim \triangle BHC$ следует пропорциональность соответствующих сторон. Соответствие вершин такое: $A \leftrightarrow B$, $K \leftrightarrow H$, $C \leftrightarrow C$. Значит, $\frac{KC}{HC} = \frac{AC}{BC}$. Эту пропорцию можно переписать как $\frac{KC}{AC} = \frac{HC}{BC}$.

5. Теперь рассмотрим треугольники $\triangle HKC$ и $\triangle ABC$. а) Они имеют общий угол $\angle C$. б) Стороны, прилежащие к углу $\angle C$, пропорциональны: $\frac{KC}{AC} = \frac{HC}{BC}$ (это было установлено в пункте 4). Следовательно, по критерию подобия по двум пропорциональным сторонам и углу между ними (критерий подобия СУС), треугольники $\triangle HKC$ и $\triangle ABC$ подобны: $\triangle HKC \sim \triangle ABC$.

6. Из подобия $\triangle HKC \sim \triangle ABC$ следует соответствие углов: $\angle H_{HKC}$ соответствует $\angle B_{ABC}$, т.е. $\angle CHK = \angle B = 70^\circ$. $\angle K_{HKC}$ соответствует $\angle A_{ABC}$, т.е. $\angle CKH = \angle A = 50^\circ$. $\angle C_{HKC}$ соответствует $\angle C_{ABC}$, т.е. $\angle HCK = \angle C = 60^\circ$. Порядок вершин в требуемом подобии $\triangle BAC \sim \triangle HKC$ означает, что: $\angle B_{BAC}$ (угол $B$ в $\triangle ABC$) соответствует $\angle H_{HKC}$ (угол $H$ в $\triangle HKC$), что подтверждается: $\angle B = \angle CHK$. $\angle A_{BAC}$ (угол $A$ в $\triangle ABC$) соответствует $\angle K_{HKC}$ (угол $K$ в $\triangle HKC$), что подтверждается: $\angle A = \angle CKH$. $\angle C_{BAC}$ (угол $C$ в $\triangle ABC$) соответствует $\angle C_{HKC}$ (угол $C$ в $\triangle HKC$), что подтверждается: $\angle C = \angle HCK$. Таким образом, подобие $\triangle BAC \sim \triangle HKC$ доказано.

Ответ: Доказано.

найдите углы $\triangle HKC$

Используя доказанное подобие $\triangle HKC \sim \triangle ABC$, мы можем найти углы $\triangle HKC$:

1. Угол $\angle C$ является общим для обоих треугольников. Поэтому $\angle HCK = \angle C_{ABC} = 60^\circ$.

2. Угол при вершине $H$ в $\triangle HKC$ соответствует углу при вершине $B$ в $\triangle ABC$. Следовательно, $\angle CHK = \angle ABC = 70^\circ$.

3. Угол при вершине $K$ в $\triangle HKC$ соответствует углу при вершине $A$ в $\triangle ABC$. Следовательно, $\angle CKH = \angle BAC = 50^\circ$.

Проверка: Сумма углов $\triangle HKC$ составляет $60^\circ + 70^\circ + 50^\circ = 180^\circ$, что соответствует свойству суммы углов треугольника.

Ответ: Углы $\triangle HKC$: $\angle C = 60^\circ$, $\angle H = 70^\circ$, $\angle K = 50^\circ$.