Номер 224, страница 98 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

224. Даны угол и точка внутри него. Постройте окружность, касающуюся сторон данного угла и проходящую через эту точку.

Дано:

Угол $\angle ABC$ и точка $M$, расположенная внутри этого угла.

Найти:

Построить окружность, касающуюся сторон угла $\angle ABC$ и проходящую через точку $M$.

Решение:

Центр искомой окружности должен быть равноудален от сторон угла, следовательно, он лежит на биссектрисе угла. Для решения задачи воспользуемся методом гомотетии.

1. Построение биссектрисы угла: Проведем биссектрису $BL$ данного угла $\angle ABC$. Центр $O$ искомой окружности обязательно лежит на этой биссектрисе.

2. Построение вспомогательной окружности: Выберем на биссектрисе $BL$ произвольную точку $O'$. Из точки $O'$ опустим перпендикуляр $O'P'$ на одну из сторон угла, например, на $AB$ (точка $P'$ лежит на $AB$). Длина отрезка $O'P'$ будет радиусом $r'$ вспомогательной окружности $\omega'$. Построим окружность $\omega'$ с центром $O'$ и радиусом $r'$. Эта окружность по построению касается обеих сторон угла $AB$ и $BC$.

3. Построение луча через данную точку: Проведем луч $BM$, исходящий из вершины угла $B$ и проходящий через данную точку $M$.

4. Нахождение точек пересечения: Луч $BM$ может пересечь вспомогательную окружность $\omega'$ в одной или двух точках. Обозначим эти точки пересечения как $M_1'$ и $M_2'$ (если их две; если луч касается окружности, то $M_1'$ и $M_2'$ совпадают).

5. Определение центров искомых окружностей с помощью гомотетии: * Для каждой точки пересечения $M_i'$ (где $i=1$ или $i=1,2$) искомая окружность является образом вспомогательной окружности $\omega'$ при гомотетии с центром $B$ и коэффициентом $k_i = \frac{BM}{BM_i'}$. * Для построения центра $O_i$ искомой окружности, который будет лежать на биссектрисе $BL$, выполним следующее: * Проведем прямую $O'M_i'$. * Через точку $M$ проведем прямую, параллельную $O'M_i'$. Эта параллельная прямая пересечет биссектрису $BL$ в точке $O_i$. Точка $O_i$ является центром одной из искомых окружностей.

6. Определение радиусов искомых окружностей: Для каждого найденного центра $O_i$, радиус $r_i$ искомой окружности будет равен перпендикулярному расстоянию от $O_i$ до любой из сторон угла. Опустим перпендикуляр $O_i K_i$ из $O_i$ на сторону $AB$ (точка $K_i$ лежит на $AB$). Тогда $r_i = O_i K_i$.

7. Построение искомых окружностей: Построим окружности с центрами $O_i$ и радиусами $r_i$. Каждая такая окружность будет касаться сторон угла $\angle ABC$ и проходить через данную точку $M$. В зависимости от расположения точки $M$ и вспомогательной окружности, может быть одна или две такие окружности.

Ответ: Искомая окружность (или окружности) построена по вышеописанному алгоритму.