Номер 227, страница 103 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

227. В треугольнике одна из сторон равна 5 см, а прилежащие к ней углы равны $40^{\circ}$ и $50^{\circ}$. Найдите с точностью до 0,1 см длины двух других сторон треугольника.

Дано:

Пусть дан треугольник ABC со сторонами $a, b, c$ и углами $\angle A, \angle B, \angle C$ соответственно.

Длина одной из сторон: $c = 5 \text{ см}$

Прилежащие к ней углы: $\angle A = 40^\circ$, $\angle B = 50^\circ$

Перевод в систему СИ:

$c = 5 \text{ см} = 0.05 \text{ м}$

Найти:

Длины двух других сторон $a$ и $b$ с точностью до $0.1 \text{ см}$.

Решение:

Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$. Зная два угла, прилежащих к данной стороне, найдем третий угол $\angle C$:

$\angle C = 180^\circ - (\angle A + \angle B)$

$\angle C = 180^\circ - (40^\circ + 50^\circ)$

$\angle C = 180^\circ - 90^\circ$

$\angle C = 90^\circ$

Таким образом, треугольник является прямоугольным.

Для нахождения длин двух других сторон $a$ и $b$ воспользуемся теоремой синусов, которая гласит:

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$

Используем известную сторону $c$ и угол $\angle C$ для нахождения стороны $a$:

$\frac{a}{\sin A} = \frac{c}{\sin C}$

$a = c \cdot \frac{\sin A}{\sin C}$

Подставим известные значения:

$a = 5 \text{ см} \cdot \frac{\sin 40^\circ}{\sin 90^\circ}$

Мы знаем, что $\sin 90^\circ = 1$ и $\sin 40^\circ \approx 0.6427876$.

$a = 5 \text{ см} \cdot \frac{0.6427876}{1}$

$a \approx 3.213938 \text{ см}$

Округлим значение до $0.1 \text{ см}$:

$a \approx 3.2 \text{ см}$

Теперь найдем сторону $b$ аналогичным образом:

$\frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$

$b = c \cdot \frac{\sin B}{\sin C}$

Подставим известные значения:

$b = 5 \text{ см} \cdot \frac{\sin 50^\circ}{\sin 90^\circ}$

Мы знаем, что $\sin 90^\circ = 1$ и $\sin 50^\circ \approx 0.7660444$.

$b = 5 \text{ см} \cdot \frac{0.7660444}{1}$

$b \approx 3.830222 \text{ см}$

Округлим значение до $0.1 \text{ см}$:

$b \approx 3.8 \text{ см}$

Ответ:

Длины двух других сторон треугольника равны приблизительно $3.2 \text{ см}$ и $3.8 \text{ см}$.