Номер 222, страница 98 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

222. При повороте вокруг начала координат по часовой стрелке точка A(6; 8) перешла в точку B(8; 6). Найдите косинус угла поворота.

Дано

Начальная точка: $A(x_A, y_A) = (6; 8)$

Конечная точка после поворота: $B(x_B, y_B) = (8; 6)$

Поворот осуществляется вокруг начала координат $(0; 0)$ по часовой стрелке.

Найти:

Косинус угла поворота, $\cos \phi$.

Решение

При повороте точки $(x, y)$ вокруг начала координат на угол $\theta$ против часовой стрелки, новые координаты $(x', y')$ определяются формулами:

$x' = x \cos \theta - y \sin \theta$

$y' = x \sin \theta + y \cos \theta$

В данной задаче поворот осуществляется по часовой стрелке на угол $\phi$. Это эквивалентно повороту на угол $-\phi$ против часовой стрелки. Тогда формулы преобразования координат для точек $A(x_A, y_A)$ и $B(x_B, y_B)$ примут вид:

$x_B = x_A \cos(-\phi) - y_A \sin(-\phi)$

$y_B = x_A \sin(-\phi) + y_A \cos(-\phi)$

Используя тригонометрические тождества $\cos(-\phi) = \cos \phi$ и $\sin(-\phi) = -\sin \phi$, перепишем эти формулы:

$x_B = x_A \cos \phi + y_A \sin \phi$ (1)

$y_B = -x_A \sin \phi + y_A \cos \phi$ (2)

Теперь подставим известные значения координат точек $A(6; 8)$ и $B(8; 6)$ в эти уравнения:

$8 = 6 \cos \phi + 8 \sin \phi$ (1')

$6 = -6 \sin \phi + 8 \cos \phi$ (2')

Мы получили систему из двух линейных уравнений относительно $\cos \phi$ и $\sin \phi$. Наша цель - найти $\cos \phi$. Для этого умножим уравнение (1') на 3, а уравнение (2') на 4, чтобы коэффициенты при $\sin \phi$ стали противоположными по знаку и их можно было бы сократить при сложении:

$3 \times (8 = 6 \cos \phi + 8 \sin \phi) \Rightarrow 24 = 18 \cos \phi + 24 \sin \phi$

$4 \times (6 = 8 \cos \phi - 6 \sin \phi) \Rightarrow 24 = 32 \cos \phi - 24 \sin \phi$

Теперь сложим эти два новых уравнения:

$(18 \cos \phi + 24 \sin \phi) + (32 \cos \phi - 24 \sin \phi) = 24 + 24$

$18 \cos \phi + 32 \cos \phi = 48$

$50 \cos \phi = 48$

Разделим обе части уравнения на 50, чтобы найти значение $\cos \phi$:

$\cos \phi = \frac{48}{50}$

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 2:

$\cos \phi = \frac{24}{25}$

Ответ:

Косинус угла поворота равен $\frac{24}{25}$.