Вопросы, страница 103 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

ВОПРОСЫ

Сформулируйте и докажите теорему синусов.

Решение

Формулировка теоремы

Теорема синусов гласит: стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих им углов. Это отношение равно диаметру описанной около треугольника окружности.

То есть, для произвольного треугольника $ABC$ со сторонами $a$, $b$, $c$ (где $a$ — длина стороны, противолежащей углу $A$; $b$ — длины стороны, противолежащей углу $B$; $c$ — длины стороны, противолежащей углу $C$) справедливо следующее соотношение:

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$

где $R$ — радиус окружности, описанной около данного треугольника.

Доказательство теоремы

Рассмотрим произвольный треугольник $ABC$. Пусть $a$, $b$, $c$ — длины сторон, противолежащих вершинам $A$, $B$, $C$ соответственно. Пусть $R$ — радиус описанной окружности около треугольника $ABC$.

1. Докажем равенство отношений сторон к синусам противолежащих углов.

Проведем высоту $h_c$ из вершины $C$ к стороне $AB$ (или ее продолжению). Обозначим основание высоты как $D$.

В прямоугольном треугольнике $ADC$ (если $D$ лежит на отрезке $AB$ или на его продолжении так, что угол $A$ острый):

$h_c = b \sin A$

В прямоугольном треугольнике $BDC$ (если $D$ лежит на отрезке $AB$ или на его продолжении так, что угол $B$ острый):

$h_c = a \sin B$

Приравнивая выражения для $h_c$, получаем:

$b \sin A = a \sin B$

Отсюда следует:

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$

Аналогично, если провести высоту из вершины $A$ к стороне $BC$, можно показать, что:

$\frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$

Таким образом, мы получаем первую часть теоремы:

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$

2. Докажем, что это отношение равно $2R$ (диаметру описанной окружности).

Рассмотрим произвольную сторону, например, сторону $a$ (противолежащую углу $A$). Проведем диаметр $BD'$ описанной окружности, проходящий через вершину $B$. Точка $D'$ лежит на окружности. Соединим $C$ и $D'$.

Угол $BCD'$ опирается на диаметр $BD'$, следовательно, он прямой: $\angle BCD' = 90^\circ$.

Рассмотрим угол $A$.

• Если угол $A$ острый, то угол $BD'C$ опирается на ту же дугу $BC$, что и угол $A$. Следовательно, $\angle A = \angle BD'C$. В прямоугольном треугольнике $BCD'$ имеем: $\sin(\angle BD'C) = \frac{BC}{BD'} = \frac{a}{2R}$. Так как $\angle BD'C = \angle A$, то $\sin A = \frac{a}{2R}$, что дает $\frac{a}{\sin A} = 2R$.
• Если угол $A$ прямой ($A = 90^\circ$), то сторона $a$ является диаметром описанной окружности, т.е. $a = 2R$. Тогда $\frac{a}{\sin A} = \frac{2R}{\sin 90^\circ} = \frac{2R}{1} = 2R$.
• Если угол $A$ тупой, то точки $A$ и $D'$ лежат по разные стороны от прямой $BC$. Четырехугольник $ABCD'$ вписан в окружность, поэтому сумма противоположных углов равна $180^\circ$: $\angle A + \angle BD'C = 180^\circ$. Отсюда $\sin A = \sin(180^\circ - \angle BD'C) = \sin \angle BD'C$. В прямоугольном треугольнике $BCD'$: $\sin(\angle BD'C) = \frac{BC}{BD'} = \frac{a}{2R}$. Таким образом, $\sin A = \frac{a}{2R}$, что приводит к $\frac{a}{\sin A} = 2R$.

Во всех случаях мы получаем $\frac{a}{\sin A} = 2R$. Повторяя аналогичные рассуждения для сторон $b$ и $c$, мы придем к:

$\frac{b}{\sin B} = 2R$ и $\frac{c}{\sin C} = 2R$

Объединяя все полученные соотношения, приходим к окончательной формулировке теоремы синусов:

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$

Теорема доказана.

Ответ: Теорема синусов сформулирована и доказана выше.