Номер 229, страница 103 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

229. a) В равнобедренном $\Delta ABC$ основание $AB = \sqrt{50}$ дм, $\angle A = 70^{\circ}$. Найдите биссектрису $AL$ этого треугольника с точностью до 0,01 дм.

б) Найдите с точностью до 0,1 см периметр равнобедренного $\Delta ABC$, если известны его биссектриса $AL = 3\sqrt{2}$ см и $\angle A = 30^{\circ}$.

a) Дано:

Треугольник $ABC$ — равнобедренный.

Основание $AB = \sqrt{50}$ дм.

$\angle A = 70^\circ$.

$AL$ — биссектриса.

Перевод в СИ:

Единицы измерения дециметры (дм) не являются единицами СИ, но так как ответ требуется в дециметрах, прямой перевод в метры не требуется.

$AB = \sqrt{50} \text{ дм} = 5\sqrt{2} \text{ дм}$.

$\angle A = 70^\circ$.

Найти:

$AL$ с точностью до 0,01 дм.

Решение:

Поскольку $\triangle ABC$ равнобедренный с основанием $AB$, углы при основании равны: $\angle A = \angle B = 70^\circ$.

Сумма углов треугольника равна $180^\circ$. Найдем $\angle C$:

$\angle C = 180^\circ - (\angle A + \angle B) = 180^\circ - (70^\circ + 70^\circ) = 180^\circ - 140^\circ = 40^\circ$.

Биссектриса $AL$ делит $\angle A$ пополам:

$\angle BAL = \frac{\angle A}{2} = \frac{70^\circ}{2} = 35^\circ$.

Рассмотрим $\triangle ABL$. В нем известны два угла и сторона:

$\angle B = 70^\circ$.

$\angle BAL = 35^\circ$.

$AB = \sqrt{50}$ дм.

Найдем третий угол $\triangle ABL$:

$\angle ALB = 180^\circ - (\angle BAL + \angle B) = 180^\circ - (35^\circ + 70^\circ) = 180^\circ - 105^\circ = 75^\circ$.

Для нахождения длины биссектрисы $AL$ применим теорему синусов к $\triangle ABL$:

$\frac{AL}{\sin \angle B} = \frac{AB}{\sin \angle ALB}$

$AL = \frac{AB \cdot \sin \angle B}{\sin \angle ALB}$

$AL = \frac{\sqrt{50} \cdot \sin 70^\circ}{\sin 75^\circ}$

Вычислим приближенные значения:

$\sqrt{50} = 5\sqrt{2} \approx 7.0710678$

$\sin 70^\circ \approx 0.9396926$

$\sin 75^\circ \approx 0.9659258$

$AL \approx \frac{7.0710678 \cdot 0.9396926}{0.9659258} \approx \frac{6.64448}{0.96593} \approx 6.8784$ дм.

Округлим до 0,01 дм.

Ответ:

$AL \approx 6.88$ дм.

б) Дано:

Треугольник $ABC$ — равнобедренный.

Биссектриса $AL = 3\sqrt{2}$ см.

$\angle A = 30^\circ$.

Перевод в СИ:

Единицы измерения сантиметры (см) не являются единицами СИ, но так как ответ требуется в сантиметрах, прямой перевод в метры не требуется.

$AL = 3\sqrt{2}$ см.

$\angle A = 30^\circ$.

Найти:

Периметр $\triangle ABC$ с точностью до 0,1 см.

Решение:

Исходя из контекста задачи и пункта (а), будем считать, что $\angle A$ является углом при основании. Таким образом, основание треугольника $AB$, а боковые стороны $AC=BC$.

Тогда $\angle A = \angle B = 30^\circ$.

Найдем $\angle C$:

$\angle C = 180^\circ - (\angle A + \angle B) = 180^\circ - (30^\circ + 30^\circ) = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.

Биссектриса $AL$ делит $\angle A$ пополам:

$\angle BAL = \frac{\angle A}{2} = \frac{30^\circ}{2} = 15^\circ$.

Рассмотрим $\triangle ABL$. В нем известны сторона $AL$ и два угла:

$\angle BAL = 15^\circ$.

$\angle B = 30^\circ$.

$AL = 3\sqrt{2}$ см.

Найдем третий угол $\triangle ABL$:

$\angle ALB = 180^\circ - (\angle BAL + \angle B) = 180^\circ - (15^\circ + 30^\circ) = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ$.

Применим теорему синусов в $\triangle ABL$ для нахождения стороны $AB$ (основания):

$\frac{AB}{\sin \angle ALB} = \frac{AL}{\sin \angle B}$

$AB = \frac{AL \cdot \sin \angle ALB}{\sin \angle B} = \frac{3\sqrt{2} \cdot \sin 135^\circ}{\sin 30^\circ}$

Известно, что $\sin 135^\circ = \sin (180^\circ - 45^\circ) = \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$.

$AB = \frac{3\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{1}{2}} = \frac{3 \cdot 2 / 2}{1/2} = \frac{3}{1/2} = 6$ см.

Теперь найдем длину боковой стороны $AC$ (которая равна $BC$). Для этого рассмотрим $\triangle ALC$.

В $\triangle ALC$ известны углы $\angle CAL = 15^\circ$ и $\angle C = 120^\circ$. Сторона $AL = 3\sqrt{2}$ см.

Найдем $\angle ALC$:

$\angle ALC = 180^\circ - (\angle CAL + \angle C) = 180^\circ - (15^\circ + 120^\circ) = 180^\circ - 135^\circ = 45^\circ$.

Применим теорему синусов в $\triangle ALC$ для нахождения стороны $AC$:

$\frac{AC}{\sin \angle ALC} = \frac{AL}{\sin \angle C}$

$AC = \frac{AL \cdot \sin \angle ALC}{\sin \angle C} = \frac{3\sqrt{2} \cdot \sin 45^\circ}{\sin 120^\circ}$

Известно, что $\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\sin 120^\circ = \sin (180^\circ - 60^\circ) = \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

$AC = \frac{3\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{3 \cdot 2 / 2}{\sqrt{3}/2} = \frac{3}{\sqrt{3}/2} = \frac{6}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}$ см.

Так как $\triangle ABC$ равнобедренный с основанием $AB$, то $BC = AC = 2\sqrt{3}$ см.

Периметр $\triangle ABC$ равен сумме длин его сторон:

$P = AB + AC + BC = 6 + 2\sqrt{3} + 2\sqrt{3} = 6 + 4\sqrt{3}$ см.

Вычислим приближенное значение:

$\sqrt{3} \approx 1.73205$

$P \approx 6 + 4 \cdot 1.73205 = 6 + 6.9282 = 12.9282$ см.

Округлим до 0,1 см.

Ответ:

$P \approx 12.9$ см.