Номер 233, страница 104 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

233. Найдите периметр и углы $\triangle ABC$ с точностью до $1^\circ$, если в нем:

а) $\angle B = 60^\circ$, а высота $AD$ делит сторону $BC$ на два отрезка: $BD = 2\sqrt{3}$ см и $DC = 8$ см;

б) $\angle C = 30^\circ$, а высота $BD$ делит сторону $AC$ на отрезки $AD = 12$ см и $DC = 5\sqrt{3}$ см.

а)

Дано:

треугольник $\triangle ABC$.

$\angle B = 60^\circ$.

$AD$ - высота к стороне $BC$, то есть $AD \perp BC$.

$BD = 2\sqrt{3}$ см.

$DC = 8$ см.

Перевод в СИ: Данные приведены в сантиметрах и градусах, что является удобной формой для геометрических задач. Для сохранения точности и удобства расчетов оставим значения в текущих единицах, так как конечные ответы (длины) не требуют строгого перевода в метры, а углы уже в градусах.

Найти:

Периметр $P_{ABC}$ и углы $\angle A, \angle C$ треугольника $\triangle ABC$ (с точностью до $1^\circ$).

Решение

Поскольку $AD$ является высотой, треугольники $\triangle ADB$ и $\triangle ADC$ являются прямоугольными.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ADB$:

Известно $\angle B = 60^\circ$ и $BD = 2\sqrt{3}$ см.

Используем тригонометрические соотношения:

Высота $AD = BD \cdot \tan(\angle B) = 2\sqrt{3} \cdot \tan(60^\circ) = 2\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 2 \cdot 3 = 6$ см.

Сторона $AB = BD / \cos(\angle B) = 2\sqrt{3} / \cos(60^\circ) = 2\sqrt{3} / (1/2) = 4\sqrt{3}$ см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ADC$:

Известно $AD = 6$ см и $DC = 8$ см.

Найдем сторону $AC$ по теореме Пифагора:

$AC = \sqrt{AD^2 + DC^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$ см.

Найдем сторону $BC$ треугольника $\triangle ABC$:

$BC = BD + DC = 2\sqrt{3} + 8$ см.

Вычислим периметр треугольника $\triangle ABC$:

$P_{ABC} = AB + BC + AC = 4\sqrt{3} + (2\sqrt{3} + 8) + 10 = 6\sqrt{3} + 18$ см.

Приблизительное значение периметра: $6\sqrt{3} + 18 \approx 6 \cdot 1.73205 + 18 \approx 10.3923 + 18 \approx 28.39$ см.

Теперь найдем углы треугольника $\triangle ABC$:

$\angle B = 60^\circ$ (дано).

В прямоугольном треугольнике $\triangle ADC$ найдем $\angle C$:

$\tan(\angle C) = AD / DC = 6 / 8 = 3/4 = 0.75$.

$\angle C = \arctan(0.75) \approx 36.8698^\circ$. С точностью до $1^\circ$, $\angle C \approx 37^\circ$.

Сумма углов в треугольнике $\triangle ABC$ равна $180^\circ$. Найдем $\angle A$:

$\angle A = 180^\circ - \angle B - \angle C = 180^\circ - 60^\circ - \arctan(0.75) \approx 180^\circ - 60^\circ - 36.8698^\circ = 83.1302^\circ$.

С точностью до $1^\circ$, $\angle A \approx 83^\circ$.

Проверка суммы углов: $60^\circ + 37^\circ + 83^\circ = 180^\circ$.

Ответ: Периметр $P_{ABC} \approx 28.39$ см, $\angle A \approx 83^\circ$, $\angle B = 60^\circ$, $\angle C \approx 37^\circ$.

б)

Дано:

треугольник $\triangle ABC$.

$\angle C = 30^\circ$.

$BD$ - высота к стороне $AC$, то есть $BD \perp AC$.

$AD = 12$ см.

$DC = 5\sqrt{3}$ см.

Перевод в СИ: Данные приведены в сантиметрах и градусах, что является удобной формой для геометрических задач. Для сохранения точности и удобства расчетов оставим значения в текущих единицах, так как конечные ответы (длины) не требуют строгого перевода в метры, а углы уже в градусах.

Найти:

Периметр $P_{ABC}$ и углы $\angle A, \angle B$ треугольника $\triangle ABC$ (с точностью до $1^\circ$).

Решение

Поскольку $BD$ является высотой, треугольники $\triangle ADB$ и $\triangle CDB$ являются прямоугольными.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle CDB$:

Известно $\angle C = 30^\circ$ и $DC = 5\sqrt{3}$ см.

Используем тригонометрические соотношения:

Высота $BD = DC \cdot \tan(\angle C) = 5\sqrt{3} \cdot \tan(30^\circ) = 5\sqrt{3} \cdot (1/\sqrt{3}) = 5$ см.

Сторона $BC = DC / \cos(\angle C) = 5\sqrt{3} / \cos(30^\circ) = 5\sqrt{3} / (\sqrt{3}/2) = 5 \cdot 2 = 10$ см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ADB$:

Известно $AD = 12$ см и $BD = 5$ см.

Найдем сторону $AB$ по теореме Пифагора:

$AB = \sqrt{AD^2 + BD^2} = \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13$ см.

Найдем сторону $AC$ треугольника $\triangle ABC$:

$AC = AD + DC = 12 + 5\sqrt{3}$ см.

Вычислим периметр треугольника $\triangle ABC$:

$P_{ABC} = AB + BC + AC = 13 + 10 + (12 + 5\sqrt{3}) = 35 + 5\sqrt{3}$ см.

Приблизительное значение периметра: $35 + 5\sqrt{3} \approx 35 + 5 \cdot 1.73205 \approx 35 + 8.66025 \approx 43.66$ см.

Теперь найдем углы треугольника $\triangle ABC$:

$\angle C = 30^\circ$ (дано).

В прямоугольном треугольнике $\triangle ADB$ найдем $\angle A$:

$\tan(\angle A) = BD / AD = 5 / 12$.

$\angle A = \arctan(5/12) \approx 22.61986^\circ$. С точностью до $1^\circ$, $\angle A \approx 23^\circ$.

Сумма углов в треугольнике $\triangle ABC$ равна $180^\circ$. Найдем $\angle B$:

$\angle B = 180^\circ - \angle A - \angle C = 180^\circ - \arctan(5/12) - 30^\circ \approx 180^\circ - 22.61986^\circ - 30^\circ = 127.38014^\circ$.

С точностью до $1^\circ$, $\angle B \approx 127^\circ$.

Проверка суммы углов: $23^\circ + 127^\circ + 30^\circ = 180^\circ$.

Ответ: Периметр $P_{ABC} \approx 43.66$ см, $\angle A \approx 23^\circ$, $\angle B \approx 127^\circ$, $\angle C = 30^\circ$.