Номер 231, страница 104 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

231. a) В параллелограмме $ABCD$ точка $E$ – середина стороны $BC$, $AB = 5 \text{ дм}$, $\angle EAD = 30^\circ$, $\angle ABC = 100^\circ$. Найдите периметр и площадь параллелограмма.

б) Найдите площадь параллелограмма, диагональ которого, равная $8 \text{ см}$, составляет углы $45^\circ$ и $30^\circ$ с двумя его смежными сторонами.

a) Дано
$ABCD$ - параллелограмм.
$E$ - середина стороны $BC$.
$AB = 5 \text{ дм}$.
$\angle EAD = 30^\circ$.
$\angle ABC = 100^\circ$.

Перевод в СИ:
$AB = 5 \text{ дм} = 0.5 \text{ м}$.

Найти:
$P_{ABCD}$
$S_{ABCD}$

Решение
1. В параллелограмме $ABCD$ стороны $AD \parallel BC$. Прямая $AE$ является секущей, поэтому накрест лежащие углы $\angle EAD$ и $\angle AEB$ равны. Следовательно, $\angle AEB = \angle EAD = 30^\circ$.

2. В треугольнике $ABE$ угол $\angle ABE = \angle ABC = 100^\circ$ (так как точка $E$ лежит на стороне $BC$). Сумма углов треугольника $ABE$ равна $180^\circ$. Тогда $\angle BAE = 180^\circ - \angle ABE - \angle AEB = 180^\circ - 100^\circ - 30^\circ = 50^\circ$.

3. Используем теорему синусов для треугольника $ABE$:
$ \frac{AB}{\sin(\angle AEB)} = \frac{BE}{\sin(\angle BAE)} $
$ \frac{5 \text{ дм}}{\sin(30^\circ)} = \frac{BE}{\sin(50^\circ)} $
$ BE = \frac{5 \cdot \sin(50^\circ)}{\sin(30^\circ)} = \frac{5 \cdot \sin(50^\circ)}{0.5} = 10 \cdot \sin(50^\circ) \text{ дм}$.

4. Так как $E$ - середина стороны $BC$, то $BC = 2 \cdot BE$.
$ BC = 2 \cdot 10 \cdot \sin(50^\circ) = 20 \cdot \sin(50^\circ) \text{ дм}$.

5. В параллелограмме противоположные стороны равны, поэтому $AD = BC = 20 \cdot \sin(50^\circ) \text{ дм}$.

6. Периметр параллелограмма $ABCD$:
$ P_{ABCD} = 2 \cdot (AB + BC) = 2 \cdot (5 + 20 \cdot \sin(50^\circ)) \text{ дм}$.
Приближенное значение: $ \sin(50^\circ) \approx 0.766 $.
$ P_{ABCD} \approx 2 \cdot (5 + 20 \cdot 0.766) = 2 \cdot (5 + 15.32) = 2 \cdot 20.32 = 40.64 \text{ дм}$.

7. Площадь параллелограмма $ABCD$:
Угол $ \angle DAB = 180^\circ - \angle ABC = 180^\circ - 100^\circ = 80^\circ $. (Также $ \angle DAB = \angle BAE + \angle EAD = 50^\circ + 30^\circ = 80^\circ $)
Площадь параллелограмма может быть найдена по формуле $S = AB \cdot AD \cdot \sin(\angle DAB)$.
$ S_{ABCD} = 5 \cdot (20 \cdot \sin(50^\circ)) \cdot \sin(80^\circ) = 100 \cdot \sin(50^\circ) \cdot \sin(80^\circ) \text{ дм}^2$.
Приближенное значение: $ \sin(80^\circ) \approx 0.9848 $.
$ S_{ABCD} \approx 100 \cdot 0.766 \cdot 0.9848 \approx 100 \cdot 0.7544 \approx 75.44 \text{ дм}^2$.

Ответ: Периметр $P_{ABCD} = 2 \cdot (5 + 20 \cdot \sin(50^\circ)) \text{ дм} \approx 40.64 \text{ дм}$. Площадь $S_{ABCD} = 100 \cdot \sin(50^\circ) \cdot \sin(80^\circ) \text{ дм}^2 \approx 75.44 \text{ дм}^2$.

б) Дано
$ABCD$ - параллелограмм.
Диагональ $AC = 8 \text{ см}$.
Углы, образуемые диагональю со смежными сторонами: $\angle BAC = 45^\circ$, $\angle CAD = 30^\circ$.

Перевод в СИ:
$AC = 8 \text{ см} = 0.08 \text{ м}$.

Найти:
$S_{ABCD}$

Решение
1. Угол параллелограмма $A$ равен сумме углов, которые диагональ $AC$ образует со сторонами $AB$ и $AD$.
$ \angle BAD = \angle BAC + \angle CAD = 45^\circ + 30^\circ = 75^\circ $.

2. В параллелограмме $ABCD$ стороны $AD \parallel BC$. Прямая $AC$ является секущей, поэтому накрест лежащие углы $\angle CAD$ и $\angle BCA$ равны. Следовательно, $ \angle BCA = \angle CAD = 30^\circ $.

3. Рассмотрим треугольник $ABC$. Мы знаем сторону $AC = 8 \text{ см}$, $\angle BAC = 45^\circ$ и $\angle BCA = 30^\circ$.
Найдем угол $\angle ABC$:
$ \angle ABC = 180^\circ - (\angle BAC + \angle BCA) = 180^\circ - (45^\circ + 30^\circ) = 180^\circ - 75^\circ = 105^\circ $.

4. Используем теорему синусов для треугольника $ABC$ для нахождения сторон $AB$ и $BC$.
$ \frac{AB}{\sin(\angle BCA)} = \frac{BC}{\sin(\angle BAC)} = \frac{AC}{\sin(\angle ABC)} $
$ \frac{AB}{\sin(30^\circ)} = \frac{BC}{\sin(45^\circ)} = \frac{8}{\sin(105^\circ)} $.
Найдем $ \sin(105^\circ) = \sin(60^\circ + 45^\circ) = \sin(60^\circ)\cos(45^\circ) + \cos(60^\circ)\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} $.

Теперь найдем $AB$ и $BC$:
$ AB = \frac{8 \cdot \sin(30^\circ)}{\sin(105^\circ)} = \frac{8 \cdot \frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}} = \frac{4}{\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}} = \frac{16}{\sqrt{6} + \sqrt{2}} $.
Рационализируем знаменатель:
$ AB = \frac{16(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{(\sqrt{6} + \sqrt{2})(\sqrt{6} - \sqrt{2})} = \frac{16(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{6 - 2} = \frac{16(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4} = 4(\sqrt{6} - \sqrt{2}) \text{ см}$.
$ BC = \frac{8 \cdot \sin(45^\circ)}{\sin(105^\circ)} = \frac{8 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}} = \frac{4\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}} = \frac{16\sqrt{2}}{\sqrt{6} + \sqrt{2}} $.
Рационализируем знаменатель:
$ BC = \frac{16\sqrt{2}(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{(\sqrt{6} + \sqrt{2})(\sqrt{6} - \sqrt{2})} = \frac{16\sqrt{2}(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4} = 4\sqrt{2}(\sqrt{6} - \sqrt{2}) = 4(\sqrt{12} - 2) = 4(2\sqrt{3} - 2) = 8(\sqrt{3} - 1) \text{ см}$.

5. Площадь параллелограмма $ABCD$ может быть найдена по формуле $S = AB \cdot AD \cdot \sin(\angle BAD)$.
Так как $AD = BC$, то $S_{ABCD} = AB \cdot BC \cdot \sin(\angle BAD)$.
Мы знаем $AB = 4(\sqrt{6} - \sqrt{2}) \text{ см}$, $BC = 8(\sqrt{3} - 1) \text{ см}$, и $\angle BAD = 75^\circ$.
Найдем $ \sin(75^\circ) = \sin(45^\circ + 30^\circ) = \sin(45^\circ)\cos(30^\circ) + \cos(45^\circ)\sin(30^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} $.

$ S_{ABCD} = (4(\sqrt{6} - \sqrt{2})) \cdot (8(\sqrt{3} - 1)) \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} $.
$ S_{ABCD} = 32(\sqrt{6} - \sqrt{2})(\sqrt{3} - 1) \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} $.
$ S_{ABCD} = 8(\sqrt{6} - \sqrt{2})(\sqrt{6} + \sqrt{2})(\sqrt{3} - 1) $.
$ S_{ABCD} = 8((\sqrt{6})^2 - (\sqrt{2})^2)(\sqrt{3} - 1) $.
$ S_{ABCD} = 8(6 - 2)(\sqrt{3} - 1) $.
$ S_{ABCD} = 8(4)(\sqrt{3} - 1) = 32(\sqrt{3} - 1) \text{ см}^2$.
Приближенное значение: $ \sqrt{3} \approx 1.732 $.
$ S_{ABCD} \approx 32 \cdot (1.732 - 1) = 32 \cdot 0.732 \approx 23.424 \text{ см}^2$.

Ответ: Площадь $S_{ABCD} = 32(\sqrt{3} - 1) \text{ см}^2 \approx 23.424 \text{ см}^2$.