Номер 236, страница 107 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

236. В треугольнике две стороны равны $a$ и $b$, а угол между ними – $60^\circ$. Найдите длину третьей стороны, если:

а) $a = 10$ см, $b = 16$ см;

б) $a = 8$ см, $b = 15$ см.

В задаче требуется найти длину третьей стороны треугольника, зная длины двух сторон и угол между ними. Для этого воспользуемся теоремой косинусов: $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(C)$, где $c$ – искомая сторона, $a$ и $b$ – данные стороны, $C$ – угол между сторонами $a$ и $b$. Поскольку угол равен $60^\circ$, то $\cos(60^\circ) = 0.5$. Таким образом, формула упрощается до $c^2 = a^2 + b^2 - ab$.

a) a = 10 см, b = 16 см

Дано:

сторона $a = 10 \text{ см}$
сторона $b = 16 \text{ см}$
угол между сторонами $C = 60^\circ$

Перевод в систему СИ:
$a = 10 \text{ см} = 0.1 \text{ м}$
$b = 16 \text{ см} = 0.16 \text{ м}$
$C = 60^\circ$

Найти:

длина третьей стороны $c$

Решение:

Используем теорему косинусов: $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(C)$.
Подставим данные значения:
$c^2 = (10 \text{ см})^2 + (16 \text{ см})^2 - 2 \cdot (10 \text{ см}) \cdot (16 \text{ см}) \cdot \cos(60^\circ)$
$c^2 = 100 \text{ см}^2 + 256 \text{ см}^2 - 2 \cdot 160 \text{ см}^2 \cdot 0.5$
$c^2 = 356 \text{ см}^2 - 160 \text{ см}^2$
$c^2 = 196 \text{ см}^2$
$c = \sqrt{196 \text{ см}^2}$
$c = 14 \text{ см}$

Ответ: 14 см

б) a = 8 см, b = 15 см

Дано:

сторона $a = 8 \text{ см}$
сторона $b = 15 \text{ см}$
угол между сторонами $C = 60^\circ$

Перевод в систему СИ:
$a = 8 \text{ см} = 0.08 \text{ м}$
$b = 15 \text{ см} = 0.15 \text{ м}$
$C = 60^\circ$

Найти:

длина третьей стороны $c$

Решение:

Используем теорему косинусов: $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(C)$.
Подставим данные значения:
$c^2 = (8 \text{ см})^2 + (15 \text{ см})^2 - 2 \cdot (8 \text{ см}) \cdot (15 \text{ см}) \cdot \cos(60^\circ)$
$c^2 = 64 \text{ см}^2 + 225 \text{ см}^2 - 2 \cdot 120 \text{ см}^2 \cdot 0.5$
$c^2 = 289 \text{ см}^2 - 120 \text{ см}^2$
$c^2 = 169 \text{ см}^2$
$c = \sqrt{169 \text{ см}^2}$
$c = 13 \text{ см}$

Ответ: 13 см