Страница 107 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

ВОПРОСЫ

Сформулируйте и докажите теорему косинусов.

Формулировка

Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

Для треугольника со сторонами $a, b, c$ и углами $\alpha, \beta, \gamma$ соответственно противолежащими этим сторонам, теорема косинусов формулируется следующим образом:

$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos\alpha$

$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos\beta$

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos\gamma$

Ответ: Формулировка теоремы косинусов представлена выше.

Доказательство

Рассмотрим треугольник $ABC$ со сторонами $a, b, c$. Обозначим углы при вершинах $A, B, C$ как $\alpha, \beta, \gamma$ соответственно. Проведем высоту $h$ из вершины $B$ к стороне $AC$. Пусть основание высоты - точка $H$. Возможны три случая для угла $\alpha$:

Случай 1: Угол $\alpha$ острый (0° < $\alpha$ < 90°)

В прямоугольном треугольнике $AHB$:

$AH = c \cos\alpha$

$BH = c \sin\alpha$

Тогда $HC = AC - AH = b - c \cos\alpha$.

В прямоугольном треугольнике $BHC$ по теореме Пифагора:

$BC^2 = BH^2 + HC^2$

$a^2 = (c \sin\alpha)^2 + (b - c \cos\alpha)^2$

$a^2 = c^2 \sin^2\alpha + b^2 - 2bc \cos\alpha + c^2 \cos^2\alpha$

$a^2 = c^2 (\sin^2\alpha + \cos^2\alpha) + b^2 - 2bc \cos\alpha$

Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$:

$a^2 = c^2 \cdot 1 + b^2 - 2bc \cos\alpha$

$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos\alpha$

Случай 2: Угол $\alpha$ тупой (90° < $\alpha$ < 180°)

В этом случае основание высоты $H$ лежит вне отрезка $AC$, на продолжении стороны $CA$. В прямоугольном треугольнике $AHB$:

$AH = c \cos(180° - \alpha) = -c \cos\alpha$

$BH = c \sin(180° - \alpha) = c \sin\alpha$

Тогда $HC = AC + AH = b + (-c \cos\alpha) = b - c \cos\alpha$.

В прямоугольном треугольнике $BHC$ по теореме Пифагора:

$BC^2 = BH^2 + HC^2$

$a^2 = (c \sin\alpha)^2 + (b - c \cos\alpha)^2$

$a^2 = c^2 \sin^2\alpha + b^2 - 2bc \cos\alpha + c^2 \cos^2\alpha$

$a^2 = c^2 (\sin^2\alpha + \cos^2\alpha) + b^2 - 2bc \cos\alpha$

$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos\alpha$

Случай 3: Угол $\alpha$ прямой ($\alpha$ = 90°)

В этом случае $\cos\alpha = \cos(90°) = 0$. Треугольник $ABC$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $A$. По теореме Пифагора:

$a^2 = b^2 + c^2$

Подставим $\cos\alpha = 0$ в формулу теоремы косинусов:

$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cdot 0$

$a^2 = b^2 + c^2$

Таким образом, теорема косинусов обобщает теорему Пифагора.

Во всех трех случаях формула $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos\alpha$ остается верной. Аналогично можно доказать формулы для $b^2$ и $c^2$.

Ответ: Доказательство теоремы косинусов рассмотрено для всех возможных случаев угла.

236. В треугольнике две стороны равны $a$ и $b$, а угол между ними – $60^\circ$. Найдите длину третьей стороны, если:

а) $a = 10$ см, $b = 16$ см;

б) $a = 8$ см, $b = 15$ см.

В задаче требуется найти длину третьей стороны треугольника, зная длины двух сторон и угол между ними. Для этого воспользуемся теоремой косинусов: $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(C)$, где $c$ – искомая сторона, $a$ и $b$ – данные стороны, $C$ – угол между сторонами $a$ и $b$. Поскольку угол равен $60^\circ$, то $\cos(60^\circ) = 0.5$. Таким образом, формула упрощается до $c^2 = a^2 + b^2 - ab$.

a) a = 10 см, b = 16 см

Дано:

сторона $a = 10 \text{ см}$
сторона $b = 16 \text{ см}$
угол между сторонами $C = 60^\circ$

Перевод в систему СИ:
$a = 10 \text{ см} = 0.1 \text{ м}$
$b = 16 \text{ см} = 0.16 \text{ м}$
$C = 60^\circ$

Найти:

длина третьей стороны $c$

Решение:

Используем теорему косинусов: $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(C)$.
Подставим данные значения:
$c^2 = (10 \text{ см})^2 + (16 \text{ см})^2 - 2 \cdot (10 \text{ см}) \cdot (16 \text{ см}) \cdot \cos(60^\circ)$
$c^2 = 100 \text{ см}^2 + 256 \text{ см}^2 - 2 \cdot 160 \text{ см}^2 \cdot 0.5$
$c^2 = 356 \text{ см}^2 - 160 \text{ см}^2$
$c^2 = 196 \text{ см}^2$
$c = \sqrt{196 \text{ см}^2}$
$c = 14 \text{ см}$

Ответ: 14 см

б) a = 8 см, b = 15 см

Дано:

сторона $a = 8 \text{ см}$
сторона $b = 15 \text{ см}$
угол между сторонами $C = 60^\circ$

Перевод в систему СИ:
$a = 8 \text{ см} = 0.08 \text{ м}$
$b = 15 \text{ см} = 0.15 \text{ м}$
$C = 60^\circ$

Найти:

длина третьей стороны $c$

Решение:

Используем теорему косинусов: $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(C)$.
Подставим данные значения:
$c^2 = (8 \text{ см})^2 + (15 \text{ см})^2 - 2 \cdot (8 \text{ см}) \cdot (15 \text{ см}) \cdot \cos(60^\circ)$
$c^2 = 64 \text{ см}^2 + 225 \text{ см}^2 - 2 \cdot 120 \text{ см}^2 \cdot 0.5$
$c^2 = 289 \text{ см}^2 - 120 \text{ см}^2$
$c^2 = 169 \text{ см}^2$
$c = \sqrt{169 \text{ см}^2}$
$c = 13 \text{ см}$

Ответ: 13 см