Страница 103 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

ВОПРОСЫ

Сформулируйте и докажите теорему синусов.

Решение

Формулировка теоремы

Теорема синусов гласит: стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих им углов. Это отношение равно диаметру описанной около треугольника окружности.

То есть, для произвольного треугольника $ABC$ со сторонами $a$, $b$, $c$ (где $a$ — длина стороны, противолежащей углу $A$; $b$ — длины стороны, противолежащей углу $B$; $c$ — длины стороны, противолежащей углу $C$) справедливо следующее соотношение:

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$

где $R$ — радиус окружности, описанной около данного треугольника.

Доказательство теоремы

Рассмотрим произвольный треугольник $ABC$. Пусть $a$, $b$, $c$ — длины сторон, противолежащих вершинам $A$, $B$, $C$ соответственно. Пусть $R$ — радиус описанной окружности около треугольника $ABC$.

1. Докажем равенство отношений сторон к синусам противолежащих углов.

Проведем высоту $h_c$ из вершины $C$ к стороне $AB$ (или ее продолжению). Обозначим основание высоты как $D$.

В прямоугольном треугольнике $ADC$ (если $D$ лежит на отрезке $AB$ или на его продолжении так, что угол $A$ острый):

$h_c = b \sin A$

В прямоугольном треугольнике $BDC$ (если $D$ лежит на отрезке $AB$ или на его продолжении так, что угол $B$ острый):

$h_c = a \sin B$

Приравнивая выражения для $h_c$, получаем:

$b \sin A = a \sin B$

Отсюда следует:

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$

Аналогично, если провести высоту из вершины $A$ к стороне $BC$, можно показать, что:

$\frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$

Таким образом, мы получаем первую часть теоремы:

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$

2. Докажем, что это отношение равно $2R$ (диаметру описанной окружности).

Рассмотрим произвольную сторону, например, сторону $a$ (противолежащую углу $A$). Проведем диаметр $BD'$ описанной окружности, проходящий через вершину $B$. Точка $D'$ лежит на окружности. Соединим $C$ и $D'$.

Угол $BCD'$ опирается на диаметр $BD'$, следовательно, он прямой: $\angle BCD' = 90^\circ$.

Рассмотрим угол $A$.

• Если угол $A$ острый, то угол $BD'C$ опирается на ту же дугу $BC$, что и угол $A$. Следовательно, $\angle A = \angle BD'C$. В прямоугольном треугольнике $BCD'$ имеем: $\sin(\angle BD'C) = \frac{BC}{BD'} = \frac{a}{2R}$. Так как $\angle BD'C = \angle A$, то $\sin A = \frac{a}{2R}$, что дает $\frac{a}{\sin A} = 2R$.
• Если угол $A$ прямой ($A = 90^\circ$), то сторона $a$ является диаметром описанной окружности, т.е. $a = 2R$. Тогда $\frac{a}{\sin A} = \frac{2R}{\sin 90^\circ} = \frac{2R}{1} = 2R$.
• Если угол $A$ тупой, то точки $A$ и $D'$ лежат по разные стороны от прямой $BC$. Четырехугольник $ABCD'$ вписан в окружность, поэтому сумма противоположных углов равна $180^\circ$: $\angle A + \angle BD'C = 180^\circ$. Отсюда $\sin A = \sin(180^\circ - \angle BD'C) = \sin \angle BD'C$. В прямоугольном треугольнике $BCD'$: $\sin(\angle BD'C) = \frac{BC}{BD'} = \frac{a}{2R}$. Таким образом, $\sin A = \frac{a}{2R}$, что приводит к $\frac{a}{\sin A} = 2R$.

Во всех случаях мы получаем $\frac{a}{\sin A} = 2R$. Повторяя аналогичные рассуждения для сторон $b$ и $c$, мы придем к:

$\frac{b}{\sin B} = 2R$ и $\frac{c}{\sin C} = 2R$

Объединяя все полученные соотношения, приходим к окончательной формулировке теоремы синусов:

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$

Теорема доказана.

Ответ: Теорема синусов сформулирована и доказана выше.

226. a) В $\triangle ABC$ $AB=5\sqrt{6}$ см, $\angle A=75^{\circ}$, $\angle B=60^{\circ}$. Найдите $AC$.

б) В треугольнике с углами $105^{\circ}$ и $45^{\circ}$ наименьшая сторона равна $4\sqrt{2}$ см. Найдите среднюю по длине сторону этого треугольника.

a) В ΔABC $AB = 5\sqrt{6}$ см, $\angle A = 75^\circ$, $\angle B = 60^\circ$. Найдите $AC$.

Дано:

треугольник ΔABC

$AB = 5\sqrt{6}$ см

$\angle A = 75^\circ$

$\angle B = 60^\circ$

Перевод в СИ:

$AB = 5\sqrt{6} \cdot 10^{-2}$ м

$\angle A = 75^\circ = \frac{75\pi}{180}$ рад $= \frac{5\pi}{12}$ рад

$\angle B = 60^\circ = \frac{60\pi}{180}$ рад $= \frac{\pi}{3}$ рад

Найти:

$AC$

Решение:

1. Найдем угол $\angle C$ в треугольнике ΔABC. Сумма углов треугольника равна $180^\circ$.

$\angle C = 180^\circ - \angle A - \angle B$

$\angle C = 180^\circ - 75^\circ - 60^\circ$

$\angle C = 180^\circ - 135^\circ$

$\angle C = 45^\circ$

В радианах: $\angle C = \frac{\pi}{4}$ рад.

2. Применим теорему синусов, которая гласит: $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$.

Для сторон $AC$ и $AB$ и соответствующих углов: $\frac{AC}{\sin B} = \frac{AB}{\sin C}$

3. Подставим известные значения:

$\frac{AC}{\sin 60^\circ} = \frac{5\sqrt{6}}{\sin 45^\circ}$

4. Выразим $AC$:

$AC = \frac{5\sqrt{6} \cdot \sin 60^\circ}{\sin 45^\circ}$

5. Известные значения синусов:

$\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$

6. Подставим значения и произведем вычисления:

$AC = \frac{5\sqrt{6} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$

$AC = \frac{5\sqrt{6} \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{2}}$

$AC = 5\sqrt{\frac{6 \cdot 3}{2}}$

$AC = 5\sqrt{\frac{18}{2}}$

$AC = 5\sqrt{9}$

$AC = 5 \cdot 3$

$AC = 15$ см

Ответ: $AC = 15$ см.

б) В треугольнике с углами $105^\circ$ и $45^\circ$ наименьшая сторона равна $4\sqrt{2}$ см. Найдите среднюю по длине сторону этого треугольника.

Дано:

треугольник с углами:

$\alpha = 105^\circ$

$\beta = 45^\circ$

наименьшая сторона $a_{min} = 4\sqrt{2}$ см

Перевод в СИ:

$a_{min} = 4\sqrt{2} \cdot 10^{-2}$ м

$\alpha = 105^\circ = \frac{105\pi}{180}$ рад $= \frac{7\pi}{12}$ рад

$\beta = 45^\circ = \frac{45\pi}{180}$ рад $= \frac{\pi}{4}$ рад

Найти:

среднюю по длине сторону.

Решение:

1. Найдем третий угол треугольника. Сумма углов треугольника равна $180^\circ$.

$\gamma = 180^\circ - 105^\circ - 45^\circ$

$\gamma = 180^\circ - 150^\circ$

$\gamma = 30^\circ$

В радианах: $\gamma = \frac{\pi}{6}$ рад.

2. Углы треугольника: $30^\circ$, $45^\circ$, $105^\circ$. Наименьшей стороне противолежит наименьший угол, а средней стороне противолежит средний угол.

Наименьший угол - $30^\circ$. Следовательно, наименьшая сторона $4\sqrt{2}$ см лежит напротив угла $30^\circ$. Пусть эта сторона будет $a_{30}$.

Средний угол - $45^\circ$. Сторона, противолежащая углу $45^\circ$, будет средней по длине. Пусть это будет $a_{45}$.

3. Применим теорему синусов:

$\frac{a_{30}}{\sin 30^\circ} = \frac{a_{45}}{\sin 45^\circ}$

4. Подставим известные значения:

$\frac{4\sqrt{2}}{\sin 30^\circ} = \frac{a_{45}}{\sin 45^\circ}$

5. Известные значения синусов:

$\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$

$\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$

6. Выразим $a_{45}$:

$a_{45} = \frac{4\sqrt{2} \cdot \sin 45^\circ}{\sin 30^\circ}$

$a_{45} = \frac{4\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{1}{2}}$

$a_{45} = \frac{4\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}}{1}$

$a_{45} = 4 \cdot 2$

$a_{45} = 8$ см

Ответ: средняя по длине сторона равна $8$ см.

227. В треугольнике одна из сторон равна 5 см, а прилежащие к ней углы равны $40^{\circ}$ и $50^{\circ}$. Найдите с точностью до 0,1 см длины двух других сторон треугольника.

Дано:

Пусть дан треугольник ABC со сторонами $a, b, c$ и углами $\angle A, \angle B, \angle C$ соответственно.

Длина одной из сторон: $c = 5 \text{ см}$

Прилежащие к ней углы: $\angle A = 40^\circ$, $\angle B = 50^\circ$

Перевод в систему СИ:

$c = 5 \text{ см} = 0.05 \text{ м}$

Найти:

Длины двух других сторон $a$ и $b$ с точностью до $0.1 \text{ см}$.

Решение:

Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$. Зная два угла, прилежащих к данной стороне, найдем третий угол $\angle C$:

$\angle C = 180^\circ - (\angle A + \angle B)$

$\angle C = 180^\circ - (40^\circ + 50^\circ)$

$\angle C = 180^\circ - 90^\circ$

$\angle C = 90^\circ$

Таким образом, треугольник является прямоугольным.

Для нахождения длин двух других сторон $a$ и $b$ воспользуемся теоремой синусов, которая гласит:

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$

Используем известную сторону $c$ и угол $\angle C$ для нахождения стороны $a$:

$\frac{a}{\sin A} = \frac{c}{\sin C}$

$a = c \cdot \frac{\sin A}{\sin C}$

Подставим известные значения:

$a = 5 \text{ см} \cdot \frac{\sin 40^\circ}{\sin 90^\circ}$

Мы знаем, что $\sin 90^\circ = 1$ и $\sin 40^\circ \approx 0.6427876$.

$a = 5 \text{ см} \cdot \frac{0.6427876}{1}$

$a \approx 3.213938 \text{ см}$

Округлим значение до $0.1 \text{ см}$:

$a \approx 3.2 \text{ см}$

Теперь найдем сторону $b$ аналогичным образом:

$\frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$

$b = c \cdot \frac{\sin B}{\sin C}$

Подставим известные значения:

$b = 5 \text{ см} \cdot \frac{\sin 50^\circ}{\sin 90^\circ}$

Мы знаем, что $\sin 90^\circ = 1$ и $\sin 50^\circ \approx 0.7660444$.

$b = 5 \text{ см} \cdot \frac{0.7660444}{1}$

$b \approx 3.830222 \text{ см}$

Округлим значение до $0.1 \text{ см}$:

$b \approx 3.8 \text{ см}$

Ответ:

Длины двух других сторон треугольника равны приблизительно $3.2 \text{ см}$ и $3.8 \text{ см}$.

228. a) В $\triangle ABC$ $\angle A = 30^{\circ}$, $\angle B = 60^{\circ}$. Найдите отношение $(a : b : c)$ сторон треугольника.

б) Найдите отношение сторон треугольника, выраженное трех-значными числами, если его углы относятся как $3 : 4 : 8$.

а) В $\triangle ABC \angle A = 30^\circ, \angle B = 60^\circ$. Найдите отношение $(a : b : c)$ сторон треугольника.

Дано:

Треугольник $\triangle ABC$.

$\angle A = 30^\circ$.

$\angle B = 60^\circ$.

Найти:

Отношение сторон $(a : b : c)$.

Решение:

1. Найдем величину угла $\angle C$. Сумма углов треугольника равна $180^\circ$.

$\angle C = 180^\circ - \angle A - \angle B$

$\angle C = 180^\circ - 30^\circ - 60^\circ = 90^\circ$

2. По теореме синусов, отношение сторон треугольника равно отношению синусов противолежащих углов:

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$

Следовательно, $a : b : c = \sin A : \sin B : \sin C$.

3. Вычислим значения синусов для найденных углов:

$\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$

$\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\sin 90^\circ = 1$

4. Подставим эти значения в отношение:

$a : b : c = \frac{1}{2} : \frac{\sqrt{3}}{2} : 1$

5. Умножим все части отношения на 2, чтобы получить целые числа и упростить его:

$a : b : c = 1 : \sqrt{3} : 2$

Ответ: $1 : \sqrt{3} : 2$.

б) Найдите отношение сторон треугольника, выраженное трехзначными числами, если его углы относятся как $3 : 4 : 8$.

Дано:

Отношение углов треугольника $\angle A : \angle B : \angle C = 3 : 4 : 8$.

Найти:

Отношение сторон $a : b : c$, выраженное трехзначными числами.

Решение:

1. Пусть углы треугольника равны $3x, 4x, 8x$. Сумма углов в треугольнике составляет $180^\circ$.

$3x + 4x + 8x = 180^\circ$

$15x = 180^\circ$

$x = \frac{180^\circ}{15} = 12^\circ$

2. Вычислим величины каждого угла:

$\angle A = 3x = 3 \times 12^\circ = 36^\circ$

$\angle B = 4x = 4 \times 12^\circ = 48^\circ$

$\angle C = 8x = 8 \times 12^\circ = 96^\circ$

3. По теореме синусов, отношение сторон треугольника равно отношению синусов противолежащих углов:

$a : b : c = \sin A : \sin B : \sin C$

$a : b : c = \sin 36^\circ : \sin 48^\circ : \sin 96^\circ$

4. Вычислим приближенные значения синусов (используя 6-7 знаков после запятой для достаточной точности перед округлением):

$\sin 36^\circ \approx 0.587785$

$\sin 48^\circ \approx 0.743145$

$\sin 96^\circ \approx 0.994522$

5. Отношение сторон приблизительно равно:

$a : b : c \approx 0.587785 : 0.743145 : 0.994522$

6. Для того чтобы выразить это отношение трехзначными числами, умножим каждое значение на $1000$ (чтобы сместить десятичную точку) и округлим до ближайшего целого числа:

$0.587785 \times 1000 \approx 587.785 \approx 588$

$0.743145 \times 1000 \approx 743.145 \approx 743$

$0.994522 \times 1000 \approx 994.522 \approx 995$

Таким образом, отношение сторон, выраженное трехзначными числами, составляет $588 : 743 : 995$.

Ответ: $588 : 743 : 995$.

229. a) В равнобедренном $\Delta ABC$ основание $AB = \sqrt{50}$ дм, $\angle A = 70^{\circ}$. Найдите биссектрису $AL$ этого треугольника с точностью до 0,01 дм.

б) Найдите с точностью до 0,1 см периметр равнобедренного $\Delta ABC$, если известны его биссектриса $AL = 3\sqrt{2}$ см и $\angle A = 30^{\circ}$.

a) Дано:

Треугольник $ABC$ — равнобедренный.

Основание $AB = \sqrt{50}$ дм.

$\angle A = 70^\circ$.

$AL$ — биссектриса.

Перевод в СИ:

Единицы измерения дециметры (дм) не являются единицами СИ, но так как ответ требуется в дециметрах, прямой перевод в метры не требуется.

$AB = \sqrt{50} \text{ дм} = 5\sqrt{2} \text{ дм}$.

$\angle A = 70^\circ$.

Найти:

$AL$ с точностью до 0,01 дм.

Решение:

Поскольку $\triangle ABC$ равнобедренный с основанием $AB$, углы при основании равны: $\angle A = \angle B = 70^\circ$.

Сумма углов треугольника равна $180^\circ$. Найдем $\angle C$:

$\angle C = 180^\circ - (\angle A + \angle B) = 180^\circ - (70^\circ + 70^\circ) = 180^\circ - 140^\circ = 40^\circ$.

Биссектриса $AL$ делит $\angle A$ пополам:

$\angle BAL = \frac{\angle A}{2} = \frac{70^\circ}{2} = 35^\circ$.

Рассмотрим $\triangle ABL$. В нем известны два угла и сторона:

$\angle B = 70^\circ$.

$\angle BAL = 35^\circ$.

$AB = \sqrt{50}$ дм.

Найдем третий угол $\triangle ABL$:

$\angle ALB = 180^\circ - (\angle BAL + \angle B) = 180^\circ - (35^\circ + 70^\circ) = 180^\circ - 105^\circ = 75^\circ$.

Для нахождения длины биссектрисы $AL$ применим теорему синусов к $\triangle ABL$:

$\frac{AL}{\sin \angle B} = \frac{AB}{\sin \angle ALB}$

$AL = \frac{AB \cdot \sin \angle B}{\sin \angle ALB}$

$AL = \frac{\sqrt{50} \cdot \sin 70^\circ}{\sin 75^\circ}$

Вычислим приближенные значения:

$\sqrt{50} = 5\sqrt{2} \approx 7.0710678$

$\sin 70^\circ \approx 0.9396926$

$\sin 75^\circ \approx 0.9659258$

$AL \approx \frac{7.0710678 \cdot 0.9396926}{0.9659258} \approx \frac{6.64448}{0.96593} \approx 6.8784$ дм.

Округлим до 0,01 дм.

Ответ:

$AL \approx 6.88$ дм.

б) Дано:

Треугольник $ABC$ — равнобедренный.

Биссектриса $AL = 3\sqrt{2}$ см.

$\angle A = 30^\circ$.

Перевод в СИ:

Единицы измерения сантиметры (см) не являются единицами СИ, но так как ответ требуется в сантиметрах, прямой перевод в метры не требуется.

$AL = 3\sqrt{2}$ см.

$\angle A = 30^\circ$.

Найти:

Периметр $\triangle ABC$ с точностью до 0,1 см.

Решение:

Исходя из контекста задачи и пункта (а), будем считать, что $\angle A$ является углом при основании. Таким образом, основание треугольника $AB$, а боковые стороны $AC=BC$.

Тогда $\angle A = \angle B = 30^\circ$.

Найдем $\angle C$:

$\angle C = 180^\circ - (\angle A + \angle B) = 180^\circ - (30^\circ + 30^\circ) = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.

Биссектриса $AL$ делит $\angle A$ пополам:

$\angle BAL = \frac{\angle A}{2} = \frac{30^\circ}{2} = 15^\circ$.

Рассмотрим $\triangle ABL$. В нем известны сторона $AL$ и два угла:

$\angle BAL = 15^\circ$.

$\angle B = 30^\circ$.

$AL = 3\sqrt{2}$ см.

Найдем третий угол $\triangle ABL$:

$\angle ALB = 180^\circ - (\angle BAL + \angle B) = 180^\circ - (15^\circ + 30^\circ) = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ$.

Применим теорему синусов в $\triangle ABL$ для нахождения стороны $AB$ (основания):

$\frac{AB}{\sin \angle ALB} = \frac{AL}{\sin \angle B}$

$AB = \frac{AL \cdot \sin \angle ALB}{\sin \angle B} = \frac{3\sqrt{2} \cdot \sin 135^\circ}{\sin 30^\circ}$

Известно, что $\sin 135^\circ = \sin (180^\circ - 45^\circ) = \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$.

$AB = \frac{3\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{1}{2}} = \frac{3 \cdot 2 / 2}{1/2} = \frac{3}{1/2} = 6$ см.

Теперь найдем длину боковой стороны $AC$ (которая равна $BC$). Для этого рассмотрим $\triangle ALC$.

В $\triangle ALC$ известны углы $\angle CAL = 15^\circ$ и $\angle C = 120^\circ$. Сторона $AL = 3\sqrt{2}$ см.

Найдем $\angle ALC$:

$\angle ALC = 180^\circ - (\angle CAL + \angle C) = 180^\circ - (15^\circ + 120^\circ) = 180^\circ - 135^\circ = 45^\circ$.

Применим теорему синусов в $\triangle ALC$ для нахождения стороны $AC$:

$\frac{AC}{\sin \angle ALC} = \frac{AL}{\sin \angle C}$

$AC = \frac{AL \cdot \sin \angle ALC}{\sin \angle C} = \frac{3\sqrt{2} \cdot \sin 45^\circ}{\sin 120^\circ}$

Известно, что $\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\sin 120^\circ = \sin (180^\circ - 60^\circ) = \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

$AC = \frac{3\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{3 \cdot 2 / 2}{\sqrt{3}/2} = \frac{3}{\sqrt{3}/2} = \frac{6}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}$ см.

Так как $\triangle ABC$ равнобедренный с основанием $AB$, то $BC = AC = 2\sqrt{3}$ см.

Периметр $\triangle ABC$ равен сумме длин его сторон:

$P = AB + AC + BC = 6 + 2\sqrt{3} + 2\sqrt{3} = 6 + 4\sqrt{3}$ см.

Вычислим приближенное значение:

$\sqrt{3} \approx 1.73205$

$P \approx 6 + 4 \cdot 1.73205 = 6 + 6.9282 = 12.9282$ см.

Округлим до 0,1 см.

Ответ:

$P \approx 12.9$ см.

230. В параллелограмме $ABCD$ $\angle C = 60^\circ$, $BC = 8$ см, $BD = 10$ см.

Найдите с точностью до $1^\circ$ $\angle ABD$ и $\angle ADB$.

Дано:

Параллелограмм $ABCD$.

$\angle C = 60^\circ$

$BC = 8$ см

$BD = 10$ см

Перевод данных в СИ:

Для геометрических задач, где используются длины в сантиметрах и углы в градусах, перевод в систему СИ (метры, радианы) не является обязательным, так как все вычисления выполняются в относительных единицах, а углы выражаются в градусах по условию. Если бы требовалось вычисление площади или объема, потребовались бы согласованные единицы.

Найти:

$\angle ABD$ и $\angle ADB$ с точностью до $1^\circ$.

Решение:

1. В параллелограмме $ABCD$ противоположные углы равны, следовательно, $\angle A = \angle C = 60^\circ$.

2. Противоположные стороны параллелограмма равны, следовательно, $AD = BC = 8$ см.

3. Рассмотрим треугольник $ABD$. В этом треугольнике нам известны две стороны $AD = 8$ см, $BD = 10$ см и угол $\angle A = 60^\circ$, лежащий напротив стороны $BD$.

4. Для нахождения угла $\angle ABD$ применим теорему синусов к треугольнику $ABD$:

$\frac{AD}{\sin(\angle ABD)} = \frac{BD}{\sin(\angle A)}$

5. Подставим известные значения:

$\frac{8}{\sin(\angle ABD)} = \frac{10}{\sin(60^\circ)}$

6. Выразим $\sin(\angle ABD)$:

$\sin(\angle ABD) = \frac{8 \cdot \sin(60^\circ)}{10}$

7. Значение $\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.8660$:

$\sin(\angle ABD) = \frac{8 \cdot 0.8660}{10} = \frac{6.928}{10} = 0.6928$

8. Найдем угол $\angle ABD$:

$\angle ABD = \arcsin(0.6928) \approx 43.84^\circ$

9. Округлим $\angle ABD$ до $1^\circ$:

$\angle ABD \approx 44^\circ$

10. Теперь найдем угол $\angle ADB$. Сумма углов в треугольнике $ABD$ равна $180^\circ$:

$\angle ADB = 180^\circ - \angle A - \angle ABD$

11. Подставим значения:

$\angle ADB = 180^\circ - 60^\circ - 43.84^\circ = 120^\circ - 43.84^\circ = 76.16^\circ$

12. Округлим $\angle ADB$ до $1^\circ$:

$\angle ADB \approx 76^\circ$

Ответ:

$\angle ABD \approx 44^\circ$, $\angle ADB \approx 76^\circ$