Страница 108 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

237. Угол между двумя радиусами окружности равен $16^\circ$. Найдите с точностью до 0,1 дм длину хорды, соединяющей концы этих радиусов, если диаметр окружности равен 10 дм.

Дано:

Угол между радиусами $\alpha = 16^\circ$

Диаметр окружности $D = 10 \text{ дм}$

Требуемая точность = $0.1 \text{ дм}$

Перевод в СИ:

Диаметр $D = 10 \text{ дм} = 1 \text{ м}$

Угол $\alpha = 16^\circ$ (для тригонометрических функций удобно работать в градусах)

Найти:

Длина хорды $L$

Решение:

Радиус окружности $R$ равен половине диаметра:

$R = \frac{D}{2}$

$R = \frac{10 \text{ дм}}{2} = 5 \text{ дм}$

Радиусы, проведенные к концам хорды, образуют с этой хордой равнобедренный треугольник, в котором радиусы являются боковыми сторонами, а хорда – основанием.

Угол между радиусами равен $16^\circ$.

Для нахождения длины хорды $L$ можно использовать формулу:

$L = 2R \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)$

Подставим известные значения:

$L = 2 \cdot 5 \text{ дм} \cdot \sin\left(\frac{16^\circ}{2}\right)$

$L = 10 \text{ дм} \cdot \sin(8^\circ)$

Вычислим значение $\sin(8^\circ)$:

$\sin(8^\circ) \approx 0.139173$

Теперь подставим это значение в формулу для $L$:

$L \approx 10 \text{ дм} \cdot 0.139173$

$L \approx 1.39173 \text{ дм}$

Требуется округлить результат до $0.1 \text{ дм}$. Смотрим на вторую цифру после запятой. Если она $5$ или больше, то первую цифру округляем в большую сторону. В данном случае это $9$, поэтому округляем $3$ до $4$.

$L \approx 1.4 \text{ дм}$

Ответ: 1.4 дм

238.

a) Найдите с точностью до 0,1 см сторону $BC$ треугольника $ABC$, если $AB = 6$ см, $AC = 19$ см, $\sin A = 0,6$.

б) Расстояние между городами Алматы и Шу 260 км, а между Шу и Таразом – 208 км. Установите, на какой угол поворачивает железнодорожная ветка, соединяющая города Алматы и Тараз (рисунок 145), если расстояние между ними по прямой 453 км.

Рисунок 145

а) Найдите с точностью до 0,1 см сторону BC треугольника ABC, если AB = 6 см, AC = 19 см, sin A = 0,6.

Дано:

Треугольник $ABC$.

$AB = 6$ см

$AC = 19$ см

$\sin A = 0.6$

Найти:

$BC$ с точностью до 0.1 см.

Решение:

Для нахождения стороны $BC$ воспользуемся теоремой косинусов, которая гласит: $BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos A$.

Прежде всего, нам необходимо найти значение $\cos A$. Для этого воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $\sin^2 A + \cos^2 A = 1$:

$\cos^2 A = 1 - \sin^2 A$

$\cos^2 A = 1 - (0.6)^2 = 1 - 0.36 = 0.64$

Из этого следует, что $\cos A = \pm \sqrt{0.64} = \pm 0.8$.

Поскольку угол $A$ является углом треугольника, он может быть как острым (в этом случае $\cos A > 0$), так и тупым (в этом случае $\cos A < 0$). Рассмотрим оба возможных случая:

Случай 1: Угол $A$ острый. В этом случае $\cos A = 0.8$.

Применим теорему косинусов:

$BC^2 = 6^2 + 19^2 - 2 \cdot 6 \cdot 19 \cdot 0.8$

$BC^2 = 36 + 361 - 228 \cdot 0.8$

$BC^2 = 397 - 182.4$

$BC^2 = 214.6$

Для нахождения $BC$ извлечем квадратный корень:

$BC = \sqrt{214.6} \approx 14.64924$ см.

Округляя результат до 0.1 см, получаем $BC \approx 14.6$ см.

Случай 2: Угол $A$ тупой. В этом случае $\cos A = -0.8$.

Применим теорему косинусов:

$BC^2 = 6^2 + 19^2 - 2 \cdot 6 \cdot 19 \cdot (-0.8)$

$BC^2 = 36 + 361 + 228 \cdot 0.8$

$BC^2 = 397 + 182.4$

$BC^2 = 579.4$

Для нахождения $BC$ извлечем квадратный корень:

$BC = \sqrt{579.4} \approx 24.07073$ см.

Округляя результат до 0.1 см, получаем $BC \approx 24.1$ см.

Так как в условии задачи не уточняется, является ли угол $A$ острым или тупым, возможны два решения. В стандартных школьных задачах, если не указано иное, часто подразумевается острый угол.

Ответ: 14.6 см

б) Расстояние между городами Алматы и Шу 260 км, а между Шу и Таразом - 208 км. Установите, на какой угол поворачивает железнодорожная ветка, соединяющая города Алматы и Тараз (рисунок 145), если расстояние между ними по прямой 453 км.

Дано:

Расстояние между Алматы и Шу ($AS$) = 260 км

Расстояние между Шу и Таразом ($ST$) = 208 км

Прямое расстояние между Алматы и Таразом ($AT$) = 453 км

Перевод в СИ:

Единицы измерения (километры) являются стандартными для расстояний в данной задаче. Для вычисления угла перевод в систему СИ (метры) не требуется, так как единицы измерения длин сократятся.

Найти:

Угол поворота железнодорожной ветки в точке Шу.

Решение:

Представим города Алматы, Шу и Тараз как вершины треугольника $AST$. Нам известны длины всех трех сторон этого треугольника:

$c = AS = 260$ км (сторона, противоположная углу $T$)

$a = ST = 208$ км (сторона, противоположная углу $A$)

$b = AT = 453$ км (сторона, противоположная углу $S$)

Угол поворота железнодорожной ветки в Шу соответствует внутреннему углу $\angle AST$ (обозначим его как $S$) треугольника $AST$. Для нахождения этого угла воспользуемся теоремой косинусов:

$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos S$

Выразим $\cos S$ из этой формулы:

$\cos S = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac}$

Подставим числовые значения сторон:

$a^2 = (208)^2 = 43264$

$c^2 = (260)^2 = 67600$

$b^2 = (453)^2 = 205209$

$2ac = 2 \cdot 208 \cdot 260 = 108160$

Теперь подставим эти значения в формулу для $\cos S$:

$\cos S = \frac{43264 + 67600 - 205209}{108160}$

$\cos S = \frac{110864 - 205209}{108160}$

$\cos S = \frac{-94345}{108160}$

$\cos S \approx -0.87229937$

Чтобы найти угол $S$, применим функцию арккосинуса:

$S = \arccos(-0.87229937) \approx 150.93^\circ$

Угол $S$ - это внутренний угол треугольника в точке Шу. Однако, "угол поворота" железнодорожной ветки обычно означает угол, на который отклоняется направление движения от первоначального прямолинейного пути. Если поезд прибывает в Шу из Алматы (по направлению $AS$) и затем меняет направление на $ST$, то угол поворота измеряется относительно продолжения линии $AS$ за точку $S$. Этот угол является смежным с углом $S$ внутри треугольника $AST$.

Угол поворота = $180^\circ - S$

Угол поворота $\approx 180^\circ - 150.93^\circ \approx 29.07^\circ$

Округлим результат до десятых долей градуса:

Угол поворота $\approx 29.1^\circ$

Ответ: 29.1°

239. a) Участок земли имеет форму выпуклого четырехугольника $ABCD$, в котором $AB = 10$ м, $AD = 9$ м, $BC = CD$, $\angle B = 105^\circ$, $\angle D = 135^\circ$. Найдите с точностью до 0,1 м² площадь этого участка.

б) В $\triangle ABC$ $\frac{BC}{AB} = \frac{\sqrt{6}}{2\sqrt{3}}$, $\frac{AC}{AB} = \frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{3}}$. Найдите косинус угла C.

а)

Дано:

Четырехугольник $ABCD$ выпуклый.

$AB = 10 \text{ м}$

$AD = 9 \text{ м}$

$BC = CD$

$\angle B = 105^\circ$

$\angle D = 135^\circ$

Найти:

Площадь $S_{ABCD}$ с точностью до $0.1 \text{ м}^2$.

Решение:

Обозначим $BC = CD = x$.

Применим теорему косинусов для диагонали $AC$ в $\triangle ABC$:

$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(\angle B)$

$AC^2 = 10^2 + x^2 - 2 \cdot 10 \cdot x \cdot \cos(105^\circ)$

$AC^2 = 100 + x^2 - 20x \cos(105^\circ)$

Применим теорему косинусов для диагонали $AC$ в $\triangle ADC$:

$AC^2 = AD^2 + CD^2 - 2 \cdot AD \cdot CD \cdot \cos(\angle D)$

$AC^2 = 9^2 + x^2 - 2 \cdot 9 \cdot x \cdot \cos(135^\circ)$

$AC^2 = 81 + x^2 - 18x \cos(135^\circ)$

Приравняем выражения для $AC^2$:

$100 + x^2 - 20x \cos(105^\circ) = 81 + x^2 - 18x \cos(135^\circ)$

$100 - 20x \cos(105^\circ) = 81 - 18x \cos(135^\circ)$

$19 = 20x \cos(105^\circ) - 18x \cos(135^\circ)$

$19 = x(20 \cos(105^\circ) - 18 \cos(135^\circ))$

Найдем значения косинусов:

$\cos(105^\circ) = \cos(60^\circ + 45^\circ) = \cos(60^\circ)\cos(45^\circ) - \sin(60^\circ)\sin(45^\circ) = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4}$

$\cos(135^\circ) = -\cos(45^\circ) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

Подставим значения:

$19 = x \left( 20 \cdot \frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4} - 18 \cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \right)$

$19 = x \left( 5(\sqrt{2} - \sqrt{6}) + 9\sqrt{2} \right)$

$19 = x \left( 5\sqrt{2} - 5\sqrt{6} + 9\sqrt{2} \right)$

$19 = x \left( 14\sqrt{2} - 5\sqrt{6} \right)$

$x = \frac{19}{14\sqrt{2} - 5\sqrt{6}}$

Площадь четырехугольника $ABCD$ равна сумме площадей $\triangle ABC$ и $\triangle ADC$:

$S_{ABCD} = S_{\triangle ABC} + S_{\triangle ADC}$

$S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} AB \cdot BC \cdot \sin(\angle B) = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot x \cdot \sin(105^\circ) = 5x \sin(105^\circ)$

$S_{\triangle ADC} = \frac{1}{2} AD \cdot CD \cdot \sin(\angle D) = \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot x \cdot \sin(135^\circ) = 4.5x \sin(135^\circ)$

Найдем значения синусов:

$\sin(105^\circ) = \sin(60^\circ + 45^\circ) = \sin(60^\circ)\cos(45^\circ) + \cos(60^\circ)\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

$\sin(135^\circ) = \sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Подставим значения в формулы площадей:

$S_{ABCD} = 5x \left( \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \right) + 4.5x \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \right)$

$S_{ABCD} = x \left( \frac{5(\sqrt{6} + \sqrt{2})}{4} + \frac{9\sqrt{2}}{4} \right)$

$S_{ABCD} = \frac{x}{4} \left( 5\sqrt{6} + 5\sqrt{2} + 9\sqrt{2} \right)$

$S_{ABCD} = \frac{x}{4} \left( 5\sqrt{6} + 14\sqrt{2} \right)$

Подставим выражение для $x$:

$S_{ABCD} = \frac{1}{4} \cdot \frac{19}{14\sqrt{2} - 5\sqrt{6}} \cdot (14\sqrt{2} + 5\sqrt{6})$

$S_{ABCD} = \frac{19}{4} \cdot \frac{14\sqrt{2} + 5\sqrt{6}}{14\sqrt{2} - 5\sqrt{6}}$

Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $14\sqrt{2} + 5\sqrt{6}$:

$S_{ABCD} = \frac{19}{4} \cdot \frac{(14\sqrt{2} + 5\sqrt{6})^2}{(14\sqrt{2})^2 - (5\sqrt{6})^2}$

$S_{ABCD} = \frac{19}{4} \cdot \frac{(14^2 \cdot 2) + 2 \cdot 14\sqrt{2} \cdot 5\sqrt{6} + (5^2 \cdot 6)}{(14^2 \cdot 2) - (5^2 \cdot 6)}$

$S_{ABCD} = \frac{19}{4} \cdot \frac{392 + 140\sqrt{12} + 150}{392 - 150}$

$S_{ABCD} = \frac{19}{4} \cdot \frac{542 + 140 \cdot 2\sqrt{3}}{242}$

$S_{ABCD} = \frac{19}{4} \cdot \frac{542 + 280\sqrt{3}}{242}$

$S_{ABCD} = \frac{19}{4} \cdot \frac{2(271 + 140\sqrt{3})}{242}$

$S_{ABCD} = \frac{19}{2} \cdot \frac{271 + 140\sqrt{3}}{242}$

$S_{ABCD} = \frac{19(271 + 140\sqrt{3})}{484}$

Вычислим численное значение:

$\sqrt{3} \approx 1.7320508$

$140\sqrt{3} \approx 140 \cdot 1.7320508 = 242.487112$

$271 + 140\sqrt{3} \approx 271 + 242.487112 = 513.487112$

$19(271 + 140\sqrt{3}) \approx 19 \cdot 513.487112 = 9756.255128$

$S_{ABCD} \approx \frac{9756.255128}{484} \approx 20.1575519$

Округлим до $0.1 \text{ м}^2$:

$S_{ABCD} \approx 20.2 \text{ м}^2$

Ответ: 20.2 м$^2$

б)

Дано:

В $\triangle ABC$:

$\frac{BC}{AB} = \frac{\sqrt{6}}{2\sqrt{3}}$

$\frac{AC}{AB} = \frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{3}}$

Найти:

$\cos(\angle C)$

Решение:

Упростим данные соотношения:

$\frac{BC}{AB} = \frac{\sqrt{6}}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2}\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\frac{AC}{AB} = \frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}}{2\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{6}$

Пусть $AB = k$. Тогда $BC = k \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $AC = k \frac{\sqrt{6}}{6}$.

Применим теорему косинусов для угла $C$ в $\triangle ABC$:

$AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 \cdot AC \cdot BC \cdot \cos(\angle C)$

$k^2 = \left(k \frac{\sqrt{6}}{6}\right)^2 + \left(k \frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 - 2 \cdot \left(k \frac{\sqrt{6}}{6}\right) \cdot \left(k \frac{\sqrt{2}}{2}\right) \cdot \cos(\angle C)$

$k^2 = k^2 \left(\frac{6}{36}\right) + k^2 \left(\frac{2}{4}\right) - 2 k^2 \left(\frac{\sqrt{12}}{12}\right) \cos(\angle C)$

Разделим обе части уравнения на $k^2$ (поскольку $k \ne 0$):

$1 = \frac{1}{6} + \frac{1}{2} - 2 \frac{2\sqrt{3}}{12} \cos(\angle C)$

$1 = \frac{1}{6} + \frac{3}{6} - \frac{4\sqrt{3}}{12} \cos(\angle C)$

$1 = \frac{4}{6} - \frac{\sqrt{3}}{3} \cos(\angle C)$

$1 = \frac{2}{3} - \frac{\sqrt{3}}{3} \cos(\angle C)$

$1 - \frac{2}{3} = - \frac{\sqrt{3}}{3} \cos(\angle C)$

$\frac{1}{3} = - \frac{\sqrt{3}}{3} \cos(\angle C)$

Умножим обе части на 3:

$1 = -\sqrt{3} \cos(\angle C)$

$\cos(\angle C) = -\frac{1}{\sqrt{3}}$

$\cos(\angle C) = -\frac{\sqrt{3}}{3}$

Ответ: $-\frac{\sqrt{3}}{3}$

240. a) В параллелограмме диагонали равны 2 дм и 3 дм, а угол между ними – $45^\circ$. Найдите с точностью до 0,01 дм стороны параллелограмма.

б) В параллелограмме $ABCD$ диагональ $BD$ равна 10 см, а угол между диагоналями – $60^\circ$. Найдите стороны и вторую диагональ параллелограмма, если его площадь равна $30\sqrt{3}$ см$^2$.

a)

Дано

Диагонали параллелограмма: $d_1 = 2 \text{ дм}$, $d_2 = 3 \text{ дм}$.

Угол между диагоналями: $\alpha = 45^\circ$.

Перевод в СИ

$d_1 = 2 \text{ дм} = 0.2 \text{ м}$

$d_2 = 3 \text{ дм} = 0.3 \text{ м}$

$\alpha = 45^\circ$

Найти:

Стороны параллелограмма $a, b$ (с точностью до 0,01 дм).

Решение

Пусть $d_1$ и $d_2$ — длины диагоналей параллелограмма, $a$ и $b$ — длины его сторон, $\alpha$ — угол между диагоналями.

Диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам. Рассмотрим треугольник, образованный половинами диагоналей $\frac{d_1}{2}$ и $\frac{d_2}{2}$ и одной из сторон $a$.

Половины диагоналей равны: $d_1/2 = 2/2 = 1 \text{ дм}$, $d_2/2 = 3/2 = 1.5 \text{ дм}$.

Применим теорему косинусов для нахождения стороны $a$:

$a^2 = \left(\frac{d_1}{2}\right)^2 + \left(\frac{d_2}{2}\right)^2 - 2 \cdot \frac{d_1}{2} \cdot \frac{d_2}{2} \cdot \cos\alpha$

$a^2 = 1^2 + 1.5^2 - 2 \cdot 1 \cdot 1.5 \cdot \cos(45^\circ)$

$a^2 = 1 + 2.25 - 3 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

$a^2 = 3.25 - 1.5\sqrt{2}$

$a = \sqrt{3.25 - 1.5\sqrt{2}}$

Вычислим приближенное значение: $\sqrt{2} \approx 1.41421356$.

$a \approx \sqrt{3.25 - 1.5 \cdot 1.41421356} \approx \sqrt{3.25 - 2.12132034} \approx \sqrt{1.12867966} \approx 1.0624 \text{ дм}$.

Округляем до 0,01 дм: $a \approx 1.06 \text{ дм}$.

Для второй стороны $b$, используем тот же подход, но с дополнительным углом $180^\circ - \alpha$ (так как углы между диагоналями смежные):

$b^2 = \left(\frac{d_1}{2}\right)^2 + \left(\frac{d_2}{2}\right)^2 - 2 \cdot \frac{d_1}{2} \cdot \frac{d_2}{2} \cdot \cos(180^\circ - \alpha)$

Так как $\cos(180^\circ - \alpha) = -\cos\alpha$, формула принимает вид:

$b^2 = \left(\frac{d_1}{2}\right)^2 + \left(\frac{d_2}{2}\right)^2 + 2 \cdot \frac{d_1}{2} \cdot \frac{d_2}{2} \cdot \cos\alpha$

$b^2 = 1^2 + 1.5^2 + 2 \cdot 1 \cdot 1.5 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

$b^2 = 1 + 2.25 + 1.5\sqrt{2}$

$b^2 = 3.25 + 1.5\sqrt{2}$

$b = \sqrt{3.25 + 1.5\sqrt{2}}$

Вычислим приближенное значение:

$b \approx \sqrt{3.25 + 1.5 \cdot 1.41421356} \approx \sqrt{3.25 + 2.12132034} \approx \sqrt{5.37132034} \approx 2.3176 \text{ дм}$.

Округляем до 0,01 дм: $b \approx 2.32 \text{ дм}$.

Ответ: стороны параллелограмма примерно равны $1.06 \text{ дм}$ и $2.32 \text{ дм}$.

б)

Дано

Параллелограмм $ABCD$.

Диагональ $BD = d_2 = 10 \text{ см}$.

Угол между диагоналями: $\phi = 60^\circ$.

Площадь параллелограмма: $S = 30\sqrt{3} \text{ см}^2$.

Перевод в СИ

$d_2 = 10 \text{ см} = 0.1 \text{ м}$

$\phi = 60^\circ$

$S = 30\sqrt{3} \text{ см}^2 = 30\sqrt{3} \cdot (10^{-2} \text{ м})^2 = 30\sqrt{3} \cdot 10^{-4} \text{ м}^2$.

Найти:

Стороны параллелограмма $AB, BC$ и вторая диагональ $AC$.

Решение

Пусть $d_1$ и $d_2$ — длины диагоналей, $S$ — площадь параллелограмма, $\phi$ — угол между диагоналями.

Площадь параллелограмма можно найти по формуле: $S = \frac{1}{2} d_1 d_2 \sin\phi$.

Подставим известные значения (в см и см$^2$):

$30\sqrt{3} = \frac{1}{2} \cdot d_1 \cdot 10 \cdot \sin(60^\circ)$

$30\sqrt{3} = 5 \cdot d_1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

Разделим обе части на $\sqrt{3}$:

$30 = \frac{5}{2} d_1$

$d_1 = \frac{30 \cdot 2}{5} = \frac{60}{5} = 12 \text{ см}$.

Таким образом, вторая диагональ $AC = 12 \text{ см}$.

Теперь найдем стороны параллелограмма. Диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам. Пусть точка пересечения диагоналей $O$.

Тогда $AO = OC = \frac{d_1}{2} = \frac{12}{2} = 6 \text{ см}$.

$BO = OD = \frac{d_2}{2} = \frac{10}{2} = 5 \text{ см}$.

Угол между диагоналями $\angle AOB = 60^\circ$. Соответственно, смежный угол $\angle BOC = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.

Рассмотрим треугольник $AOB$ для нахождения стороны $AB$. По теореме косинусов:

$AB^2 = AO^2 + BO^2 - 2 \cdot AO \cdot BO \cdot \cos(\angle AOB)$

$AB^2 = 6^2 + 5^2 - 2 \cdot 6 \cdot 5 \cdot \cos(60^\circ)$

$AB^2 = 36 + 25 - 60 \cdot \frac{1}{2}$

$AB^2 = 61 - 30 = 31$

$AB = \sqrt{31} \text{ см}$.

Рассмотрим треугольник $BOC$ для нахождения стороны $BC$. По теореме косинусов:

$BC^2 = BO^2 + CO^2 - 2 \cdot BO \cdot CO \cdot \cos(\angle BOC)$

$BC^2 = 5^2 + 6^2 - 2 \cdot 5 \cdot 6 \cdot \cos(120^\circ)$

$BC^2 = 25 + 36 - 60 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)$

$BC^2 = 61 + 30 = 91$

$BC = \sqrt{91} \text{ см}$.

Ответ: вторая диагональ $AC = 12 \text{ см}$, стороны параллелограмма $AB = \sqrt{31} \text{ см}$ и $BC = \sqrt{91} \text{ см}$.

241. a) Стороны параллелограмма равны 3 см и 3,5 см, а одна из его диагоналей равна 5,5 см. Найдите другую диагональ параллелограмма.

б) Диагонали параллелограмма равны 14 см и 18 см, а стороны относятся как 4 : 7. Найдите периметр параллелограмма.

а)

Дано:

стороны параллелограмма: $a = 3 \text{ см}$, $b = 3.5 \text{ см}$
одна из диагоналей: $d_1 = 5.5 \text{ см}$

Перевод в СИ:

$a = 3 \text{ см} = 0.03 \text{ м}$
$b = 3.5 \text{ см} = 0.035 \text{ м}$
$d_1 = 5.5 \text{ см} = 0.055 \text{ м}$

Найти:

другая диагональ параллелограмма: $d_2$

Решение:

Для параллелограмма справедливо соотношение между сторонами и диагоналями (теорема о сумме квадратов диагоналей):

$2(a^2 + b^2) = d_1^2 + d_2^2$

Выразим из этой формулы $d_2$:

$d_2^2 = 2(a^2 + b^2) - d_1^2$
$d_2 = \sqrt{2(a^2 + b^2) - d_1^2}$

Подставим известные значения:

$a^2 = 3^2 = 9$
$b^2 = (3.5)^2 = 12.25$
$d_1^2 = (5.5)^2 = 30.25$

$d_2^2 = 2(9 + 12.25) - 30.25$
$d_2^2 = 2(21.25) - 30.25$
$d_2^2 = 42.5 - 30.25$
$d_2^2 = 12.25$
$d_2 = \sqrt{12.25}$
$d_2 = 3.5 \text{ см}$

Ответ: $3.5 \text{ см}$

б)

Дано:

диагонали параллелограмма: $d_1 = 14 \text{ см}$, $d_2 = 18 \text{ см}$
отношение сторон: $a:b = 4:7$

Перевод в СИ:

$d_1 = 14 \text{ см} = 0.14 \text{ м}$
$d_2 = 18 \text{ см} = 0.18 \text{ м}$

Найти:

периметр параллелограмма: $P$

Решение:

Используем ту же формулу для параллелограмма, связывающую стороны и диагонали:

$2(a^2 + b^2) = d_1^2 + d_2^2$

Из отношения сторон $a:b = 4:7$ можем записать $a = 4k$ и $b = 7k$, где $k$ – некоторый коэффициент.

Подставим выражения для сторон и известные значения диагоналей в формулу:

$2((4k)^2 + (7k)^2) = 14^2 + 18^2$
$2(16k^2 + 49k^2) = 196 + 324$
$2(65k^2) = 520$
$130k^2 = 520$
$k^2 = \frac{520}{130}$
$k^2 = 4$
$k = \sqrt{4}$
$k = 2$ (так как длина не может быть отрицательной)

Теперь найдем длины сторон:

$a = 4k = 4 \times 2 = 8 \text{ см}$
$b = 7k = 7 \times 2 = 14 \text{ см}$

Периметр параллелограмма вычисляется по формуле $P = 2(a+b)$:

$P = 2(8 + 14)$
$P = 2(22)$
$P = 44 \text{ см}$

Ответ: $44 \text{ см}$