Страница 111 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

ВОПРОСЫ

1. Что называют решением треугольника?

2. Объясните способ решения треугольника по его данным: а) стороне и двум углам; б) двум сторонам и углу; в) трем сторонам.

1. Что называют решением треугольника?

Решением треугольника называют процесс определения значений всех его неизвестных элементов (сторон и углов) по известным трем элементам, среди которых хотя бы один является стороной.

Ответ: Решение треугольника — это нахождение всех его неизвестных сторон и углов по трём заданным элементам, один из которых обязательно является стороной.

2. Объясните способ решения треугольника по его данным:

а) стороне и двум углам

Данный случай соответствует ситуациям, когда известна одна сторона и два угла треугольника. Это может быть либо угол-сторона-угол (АСА), либо сторона-угол-угол (ААС).

Решение

1. Поскольку сумма углов треугольника равна $180^\circ$, третий угол находится вычитанием суммы двух известных углов из $180^\circ$. Например, если известны углы $\alpha$ и $\beta$, то $\gamma = 180^\circ - (\alpha + \beta)$.

2. Затем, используя теорему синусов, можно найти две оставшиеся стороны. Теорема синусов гласит: $a / \sin \alpha = b / \sin \beta = c / \sin \gamma$.

Если известна сторона $a$, то стороны $b$ и $c$ можно найти так:

$b = a \cdot (\sin \beta / \sin \alpha)$

$c = a \cdot (\sin \gamma / \sin \alpha)$

Ответ: При известной стороне и двум углам, третий угол находится из свойства суммы углов треугольника, а затем две оставшиеся стороны вычисляются с помощью теоремы синусов.

б) двум сторонам и углу

Этот случай может быть двух типов: когда угол находится между двумя известными сторонами (САС) или когда угол не находится между двумя известными сторонами (ССА, так называемый "амбигусный случай").

Решение

Случай 1: Угол между двумя сторонами (например, известны стороны $a, b$ и угол $\gamma$)

1. Третья сторона $c$ находится с помощью теоремы косинусов:

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos \gamma$

2. Один из оставшихся углов, например $\alpha$, можно найти, используя теорему косинусов:

$\cos \alpha = (b^2 + c^2 - a^2) / (2bc)$

Или используя теорему синусов: $\sin \alpha = (a \sin \gamma) / c$. Для избежания неоднозначности с синусом (поскольку $\sin x = \sin (180^\circ - x)$), предпочтительнее использовать теорему косинусов для нахождения угла, если это не самый большой угол.

3. Третий угол $\beta$ находится из свойства суммы углов треугольника: $\beta = 180^\circ - \alpha - \gamma$.

Случай 2: Угол не между двумя сторонами (например, известны стороны $a, b$ и угол $\alpha$)

Этот случай является "амбигусным", так как может существовать одно, два или ни одного треугольника с заданными параметрами.

1. Используется теорема синусов для нахождения угла $\beta$:

$\sin \beta = (b \sin \alpha) / a$

2. Анализируется значение $\sin \beta$:

- Если $(b \sin \alpha) / a > 1$, то решения нет (такой треугольник не существует).

- Если $(b \sin \alpha) / a = 1$, то $\beta = 90^\circ$ (одно решение - прямоугольный треугольник).

- Если $(b \sin \alpha) / a < 1$:

- Если $a \geq b$, то существует только одно решение для $\beta$ (острый угол).

- Если $a < b$, то может существовать два решения для $\beta$: $\beta_1$ (острый угол) и $\beta_2 = 180^\circ - \beta_1$ (тупой угол). Для каждого из этих значений $\beta$ далее находятся соответствующие $\gamma$ и $c$. Если $\alpha + \beta_2 \geq 180^\circ$, то второе решение недействительно.

3. После определения возможных значений угла $\beta$, находится третий угол $\gamma = 180^\circ - \alpha - \beta$.

4. Затем третья сторона $c$ находится с помощью теоремы синусов:

$c = a \cdot (\sin \gamma / \sin \alpha)$

Ответ: При известных двух сторонах и угле, решение зависит от положения угла. Если угол между сторонами, используются теорема косинусов для третьей стороны и затем теорема косинусов или синусов для углов. Если угол не между сторонами, применяется теорема синусов, что может привести к одному, двум или ни одному решению (амбигусный случай).

в) трем сторонам

Данный случай подразумевает, что известны длины всех трех сторон треугольника ($a, b, c$).

Решение

1. Прежде чем приступать к вычислениям, необходимо проверить условие существования треугольника: сумма длин любых двух сторон должна быть строго больше длины третьей стороны (неравенство треугольника):

$a + b > c$

$a + c > b$

$b + c > a$

Если хотя бы одно из этих условий не выполняется, треугольник с такими сторонами не существует.

2. Если треугольник существует, для нахождения любого угла используется теорема косинусов. Например, для угла $\alpha$:

$\cos \alpha = (b^2 + c^2 - a^2) / (2bc)$

Для угла $\beta$:

$\cos \beta = (a^2 + c^2 - b^2) / (2ac)$

Рекомендуется начинать с угла, лежащего напротив самой длинной стороны, так как это позволит однозначно определить, является ли этот угол тупым или острым (косинус тупого угла отрицателен).

3. Третий угол $\gamma$ находится из свойства суммы углов треугольника:

$\gamma = 180^\circ - (\alpha + \beta)$

Ответ: При известных трех сторонах, сначала проверяется неравенство треугольника. Если треугольник существует, все углы находятся с помощью теоремы косинусов, а затем третий угол — из суммы углов треугольника.

247. Найдите неизвестные стороны и углы треугольника $ABC$, если:

а) $AB = 4 \text{ см}$, $BC = 5 \text{ см}$, $\angle B = 110^\circ$;

б) $AB = 2 \text{ дм}$, $BC = 5 \text{ дм}$, $\angle A = 40^\circ$;

в) $BC = 4 \text{ см}$, $AB = 3 \text{ см}$, $\angle A = 120^\circ$;

г) $BC = 3 \text{ см}$, $AB = 4 \text{ см}$, $\angle A = 60^\circ$.

а) AB = 4 см, BC = 5 см, ∠B = 110°

Дано:

$AB = c = 4 \text{ см}$

$BC = a = 5 \text{ см}$

$\angle B = 110^\circ$

Перевод в СИ:

$c = 0.04 \text{ м}$

$a = 0.05 \text{ м}$

Найти:

$AC = b$, $\angle A$, $\angle C$

Решение:

1. Найдем сторону $AC$ (обозначим ее как $b$) по теореме косинусов:

$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos B$

$b^2 = 5^2 + 4^2 - 2 \cdot 5 \cdot 4 \cdot \cos 110^\circ$

$b^2 = 25 + 16 - 40 \cdot (-0.34202)$

$b^2 = 41 + 13.6808$

$b^2 = 54.6808$

$b = \sqrt{54.6808} \approx 7.39 \text{ см}$

2. Найдем угол $A$ по теореме синусов:

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$

$\sin A = \frac{a \sin B}{b}$

$\sin A = \frac{5 \cdot \sin 110^\circ}{7.3946}$

$\sin A = \frac{5 \cdot 0.93969}{7.3946}$

$\sin A = \frac{4.69845}{7.3946} \approx 0.63539$

$\angle A = \arcsin(0.63539) \approx 39.44^\circ$

3. Найдем угол $C$ по сумме углов треугольника:

$\angle C = 180^\circ - \angle A - \angle B$

$\angle C = 180^\circ - 39.44^\circ - 110^\circ$

$\angle C = 180^\circ - 149.44^\circ$

$\angle C \approx 30.56^\circ$

Ответ: $AC \approx 7.39 \text{ см}$, $\angle A \approx 39.44^\circ$, $\angle C \approx 30.56^\circ$.

б) AB = 2 дм, BC = 5 дм, ∠A = 40°

Дано:

$AB = c = 2 \text{ дм}$

$BC = a = 5 \text{ дм}$

$\angle A = 40^\circ$

Перевод в СИ:

$c = 0.2 \text{ м}$

$a = 0.5 \text{ м}$

Найти:

$AC = b$, $\angle B$, $\angle C$

Решение:

Проверим количество решений для SSA случая. Дан угол $A = 40^\circ$ (острый), сторона $a=5 \text{ дм}$ и сторона $c=2 \text{ дм}$. Так как $a > c$ ($5 > 2$), существует только одно решение.

1. Найдем угол $C$ по теореме синусов:

$\frac{a}{\sin A} = \frac{c}{\sin C}$

$\sin C = \frac{c \sin A}{a}$

$\sin C = \frac{2 \cdot \sin 40^\circ}{5}$

$\sin C = \frac{2 \cdot 0.64279}{5}$

$\sin C = \frac{1.28558}{5} = 0.257116$

$\angle C = \arcsin(0.257116) \approx 14.90^\circ$

2. Найдем угол $B$ по сумме углов треугольника:

$\angle B = 180^\circ - \angle A - \angle C$

$\angle B = 180^\circ - 40^\circ - 14.90^\circ$

$\angle B = 180^\circ - 54.90^\circ$

$\angle B \approx 125.10^\circ$

3. Найдем сторону $AC$ (обозначим ее как $b$) по теореме синусов:

$\frac{b}{\sin B} = \frac{a}{\sin A}$

$b = \frac{a \sin B}{\sin A}$

$b = \frac{5 \cdot \sin 125.10^\circ}{\sin 40^\circ}$

$b = \frac{5 \cdot 0.81813}{0.64279}$

$b = \frac{4.09065}{0.64279} \approx 6.36 \text{ дм}$

Ответ: $AC \approx 6.36 \text{ дм}$, $\angle B \approx 125.10^\circ$, $\angle C \approx 14.90^\circ$.

в) BC = 4 см, AB = 3 см, ∠A = 120°

Дано:

$BC = a = 4 \text{ см}$

$AB = c = 3 \text{ см}$

$\angle A = 120^\circ$

Перевод в СИ:

$a = 0.04 \text{ м}$

$c = 0.03 \text{ м}$

Найти:

$AC = b$, $\angle B$, $\angle C$

Решение:

Для SSA случая, когда заданный угол $\angle A = 120^\circ$ является тупым, существует одно решение, если сторона, лежащая напротив этого угла ($a=4 \text{ см}$), больше прилежащей стороны ($c=3 \text{ см}$). В нашем случае $a > c$ ($4 \text{ см} > 3 \text{ см}$), значит, решение существует и оно единственное.

1. Найдем угол $C$ по теореме синусов:

$\frac{a}{\sin A} = \frac{c}{\sin C}$

$\sin C = \frac{c \sin A}{a}$

$\sin C = \frac{3 \cdot \sin 120^\circ}{4}$

$\sin C = \frac{3 \cdot 0.86603}{4}$

$\sin C = \frac{2.59809}{4} = 0.6495225$

$\angle C = \arcsin(0.6495225) \approx 40.50^\circ$

2. Найдем угол $B$ по сумме углов треугольника:

$\angle B = 180^\circ - \angle A - \angle C$

$\angle B = 180^\circ - 120^\circ - 40.50^\circ$

$\angle B = 180^\circ - 160.50^\circ$

$\angle B \approx 19.50^\circ$

3. Найдем сторону $AC$ (обозначим ее как $b$) по теореме синусов:

$\frac{b}{\sin B} = \frac{a}{\sin A}$

$b = \frac{a \sin B}{\sin A}$

$b = \frac{4 \cdot \sin 19.50^\circ}{\sin 120^\circ}$

$b = \frac{4 \cdot 0.33381}{0.86603}$

$b = \frac{1.33524}{0.86603} \approx 1.54 \text{ см}$

Ответ: $AC \approx 1.54 \text{ см}$, $\angle B \approx 19.50^\circ$, $\angle C \approx 40.50^\circ$.

г) BC = 3 см, AB = 4 см, ∠A = 60°

Дано:

$BC = a = 3 \text{ см}$

$AB = c = 4 \text{ см}$

$\angle A = 60^\circ$

Перевод в СИ:

$a = 0.03 \text{ м}$

$c = 0.04 \text{ м}$

Найти:

$AC = b$, $\angle B$, $\angle C$

Решение:

Для случая SSA (сторона-сторона-угол) с острым углом $A$ ($60^\circ$), количество решений зависит от соотношения между стороной $a$, стороной $c$ и высотой $h = c \sin A$, проведенной из вершины $B$ на сторону $AC$.

Вычислим высоту $h$:

$h = c \sin A = 4 \cdot \sin 60^\circ$

$h = 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}$

$h \approx 2 \cdot 1.73205 = 3.4641 \text{ см}$

Сравним заданную сторону $a$ с высотой $h$:

$a = 3 \text{ см}$

$h \approx 3.4641 \text{ см}$

Так как $a < h$ ($3 \text{ см} < 3.4641 \text{ см}$), сторона $BC$ ($a$) короче высоты, которая может быть опущена из вершины $B$ на прямую $AC$. Это означает, что сторона $BC$ не достает до прямой $AC$, и треугольник с заданными параметрами не может быть построен.

Ответ: Треугольник с такими параметрами не существует.