Страница 117 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

ВОПРОСЫ

1. Какой угол называется центральным углом?

2. Как определяется градусная мера дуги?

3. Что называется углом, вписанным в окружность?

4. Сформулируйте и докажите теорему об измерении угла, вписанного в окружность.

5. Чему равна градусная мера вписанного в окружность угла, опирающегося на полуокружность?

1. Какой угол называется центральным углом?

Центральным углом в окружности называется угол, вершина которого совпадает с центром окружности, а стороны пересекают окружность.

Ответ:

2. Как определяется градусная мера дуги?

Градусная мера дуги окружности определяется как градусная мера центрального угла, который опирается на эту дугу.

Ответ:

3. Что называется углом, вписанным в окружность?

Углом, вписанным в окружность, называется угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность.

Ответ:

4. Сформулируйте и докажите теорему об измерении угла, вписанного в окружность.

Теорема: Градусная мера вписанного угла равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается.

Решение

Доказательство рассмотрим в трех случаях:

1. Случай 1: Одна из сторон вписанного угла проходит через центр окружности.

Пусть вписанный угол $ABC$ опирается на дугу $AC$, и сторона $AB$ проходит через центр $O$. Тогда $AB$ является диаметром. Рассмотрим треугольник $BOC$. Так как $OB$ и $OC$ - радиусы, то $OB = OC$. Следовательно, треугольник $BOC$ равнобедренный, и углы при основании равны: $\angle OBC = \angle OCB$.

Угол $AOC$ является внешним углом для треугольника $BOC$. По свойству внешнего угла треугольника, $\angle AOC = \angle OBC + \angle OCB$.

Поскольку $\angle OBC = \angle OCB$, то $\angle AOC = 2 \cdot \angle OBC$.

Угол $AOC$ является центральным углом, опирающимся на дугу $AC$. По определению, градусная мера дуги $AC$ равна градусной мере центрального угла $AOC$. То есть, $\text{дуга } AC = \angle AOC$.

Таким образом, $\text{дуга } AC = 2 \cdot \angle OBC$.

Отсюда, $\angle OBC = \frac{1}{2} \text{дуги } AC$. Поскольку $\angle OBC$ - это наш вписанный угол $ABC$, то $\angle ABC = \frac{1}{2} \text{дуги } AC$.

2. Случай 2: Центр окружности лежит внутри вписанного угла.

Пусть вписанный угол $ABC$ опирается на дугу $AC$, и центр $O$ лежит внутри угла. Проведем через вершину $B$ и центр $O$ диаметр $BD$. Этот диаметр разделит угол $ABC$ на два угла: $\angle ABD$ и $\angle DBC$. Он также разделит дугу $AC$ на две дуги: $AD$ и $DC$.

Для угла $ABD$ и дуги $AD$ применим Случай 1, так как сторона $BD$ проходит через центр. Следовательно, $\angle ABD = \frac{1}{2} \text{дуги } AD$.

Аналогично, для угла $DBC$ и дуги $DC$ применим Случай 1. Следовательно, $\angle DBC = \frac{1}{2} \text{дуги } DC$.

Тогда $\angle ABC = \angle ABD + \angle DBC = \frac{1}{2} \text{дуги } AD + \frac{1}{2} \text{дуги } DC = \frac{1}{2} (\text{дуги } AD + \text{дуги } DC)$.

Поскольку $\text{дуга } AD + \text{дуга } DC = \text{дуга } AC$, то $\angle ABC = \frac{1}{2} \text{дуги } AC$.

3. Случай 3: Центр окружности лежит вне вписанного угла.

Пусть вписанный угол $ABC$ опирается на дугу $AC$, и центр $O$ лежит вне угла. Проведем через вершину $B$ и центр $O$ диаметр $BD$.

Угол $ABC$ может быть выражен как разность углов $DBC$ и $DBA$. То есть, $\angle ABC = \angle DBC - \angle DBA$.

Для угла $DBC$ и дуги $DC$ применим Случай 1. Следовательно, $\angle DBC = \frac{1}{2} \text{дуги } DC$.

Для угла $DBA$ и дуги $DA$ применим Случай 1. Следовательно, $\angle DBA = \frac{1}{2} \text{дуги } DA$.

Тогда $\angle ABC = \frac{1}{2} \text{дуги } DC - \frac{1}{2} \text{дуги } DA = \frac{1}{2} (\text{дуги } DC - \text{дуги } DA)$.

Поскольку $\text{дуга } DC - \text{дуга } DA = \text{дуга } AC$, то $\angle ABC = \frac{1}{2} \text{дуги } AC$.

Таким образом, теорема доказана для всех случаев.

Ответ:

5. Чему равна градусная мера вписанного в окружность угла, опирающегося на полуокружность?

Если вписанный угол опирается на полуокружность, это означает, что дуга, на которую он опирается, составляет половину окружности. Градусная мера всей окружности равна $360^{\circ}$. Следовательно, градусная мера полуокружности равна $\frac{1}{2} \cdot 360^{\circ} = 180^{\circ}$.

Согласно теореме о вписанном угле (доказанной в пункте 4), градусная мера вписанного угла равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается.

Таким образом, если дуга равна $180^{\circ}$, то вписанный угол, опирающийся на эту дугу, будет равен $\frac{1}{2} \cdot 180^{\circ} = 90^{\circ}$.

Это означает, что любой вписанный угол, опирающийся на диаметр, является прямым углом.

Ответ: $90^{\circ}$.

260. Докажите, что градусные меры дуг окружности, которые заключены между двумя параллельными хордами, равны.

Дано:

Окружность с центром $O$.

Две параллельные хорды $AB$ и $CD$ ($AB \parallel CD$).

Найти:

Доказать, что градусные меры дуг, заключенных между этими хордами, равны, то есть $m(\text{arc } AC) = m(\text{arc } BD)$.

Решение:

1. Рассмотрим окружность и две параллельные хорды $AB$ и $CD$.

2. Проведем хорду $AD$, соединяющую один конец первой хорды с одним концом второй хорды. Эта хорда $AD$ будет являться секущей для параллельных прямых, содержащих хорды $AB$ и $CD$.

3. Поскольку хорды $AB$ и $CD$ параллельны ($AB \parallel CD$), то накрест лежащие углы, образованные секущей $AD$, равны. То есть $\angle BAD = \angle CDA$.

4. Угол $\angle BAD$ является вписанным углом в окружность. Он опирается на дугу $BD$. Согласно свойству вписанного угла, его градусная мера равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается: $m(\angle BAD) = \frac{1}{2} m(\text{arc } BD)$.

5. Угол $\angle CDA$ также является вписанным углом в окружность. Он опирается на дугу $AC$. Согласно тому же свойству, его градусная мера равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается: $m(\angle CDA) = \frac{1}{2} m(\text{arc } AC)$.

6. Поскольку мы установили, что $m(\angle BAD) = m(\angle CDA)$, то, подставляя выражения для этих углов через дуги, получаем: $\frac{1}{2} m(\text{arc } BD) = \frac{1}{2} m(\text{arc } AC)$.

7. Умножая обе части этого равенства на 2, получаем: $m(\text{arc } BD) = m(\text{arc } AC)$.

8. Таким образом, доказано, что градусные меры дуг окружности, заключенных между двумя параллельными хордами, равны.

Ответ: Доказано.

261. Постройте вписанный в окружность угол, равный:

а) $45^\circ$;

б) $60^\circ$;

в) $90^\circ$;

г) $150^\circ$.

Для построения вписанного угла в окружность используем свойство, что величина вписанного угла равна половине дуги, на которую он опирается. Соответственно, чтобы построить вписанный угол заданной величины, необходимо построить центральный угол, равный удвоенной величине искомого вписанного угла, или найти дугу, которая в два раза больше искомого угла.

a) 45°

Дано: Угол, который необходимо построить: $\alpha = 45^\circ$

Найти: Построить вписанный в окружность угол, равный $45^\circ$.

Решение

1. Начертите окружность с центром $O$.
2. Проведите два взаимно перпендикулярных радиуса $OA$ и $OB$. Центральный угол $AOB$ будет равен $90^\circ$. Меньшая дуга $AB$ составляет $90^\circ$.
3. Отметьте любую точку $C$ на окружности, лежащую на большей дуге $AB$.
4. Соедините точки $A$, $C$ и $B$. Угол $ACB$ является вписанным углом, опирающимся на меньшую дугу $AB$.
5. Величина вписанного угла $ACB$ будет равна половине меры меньшей дуги $AB$, то есть $ACB = \frac{1}{2} \cdot 90^\circ = 45^\circ$.

Ответ: Вписанный угол, равный $45^\circ$, построен.

б) 60°

Дано: Угол, который необходимо построить: $\alpha = 60^\circ$

Найти: Построить вписанный в окружность угол, равный $60^\circ$.

Решение

1. Начертите окружность с центром $O$.
2. Проведите радиус $OA$.
3. Постройте центральный угол $AOC$ равный $120^\circ$. Это можно сделать следующим образом:
   • С помощью циркуля, установите ножку в точку $A$ и проведите дугу радиусом $OA$, пересекающую окружность в точке $B$. Угол $AOB$ будет $60^\circ$ (так как треугольник $AOB$ равносторонний).
   • Не меняя раствора циркуля, установите ножку в точку $B$ и проведите дугу, пересекающую окружность в точке $C$. Угол $BOC$ будет $60^\circ$.
   • Тогда центральный угол $AOC = AOB + BOC = 60^\circ + 60^\circ = 120^\circ$. Меньшая дуга $AC$ составляет $120^\circ$.
4. Отметьте любую точку $D$ на окружности, лежащую на большей дуге $AC$.
5. Соедините точки $A$, $D$ и $C$. Угол $ADC$ является вписанным углом, опирающимся на меньшую дугу $AC$.
6. Величина вписанного угла $ADC$ будет равна половине меры меньшей дуги $AC$, то есть $ADC = \frac{1}{2} \cdot 120^\circ = 60^\circ$.

Ответ: Вписанный угол, равный $60^\circ$, построен.

в) 90°

Дано: Угол, который необходимо построить: $\alpha = 90^\circ$

Найти: Построить вписанный в окружность угол, равный $90^\circ$.

Решение

1. Начертите окружность с центром $O$.
2. Проведите через центр $O$ диаметр $AB$. Дуга $AB$ (полуокружность) составляет $180^\circ$.
3. Отметьте любую точку $C$ на окружности, не совпадающую с точками $A$ и $B$.
4. Соедините точки $A$, $C$ и $B$. Угол $ACB$ является вписанным углом, опирающимся на дугу $AB$ (полуокружность).
5. Величина вписанного угла $ACB$ будет равна половине меры дуги, на которую он опирается, то есть $ACB = \frac{1}{2} \cdot 180^\circ = 90^\circ$.

Ответ: Вписанный угол, равный $90^\circ$, построен.

г) 150°

Дано: Угол, который необходимо построить: $\alpha = 150^\circ$

Найти: Построить вписанный в окружность угол, равный $150^\circ$.

Решение

1. Начертите окружность с центром $O$.
2. Проведите радиус $OA$.
3. Постройте центральный угол $AOB$ равный $60^\circ$. Это можно сделать следующим образом:
   • С помощью циркуля, установите ножку в точку $A$ и проведите дугу радиусом $OA$, пересекающую окружность в точке $B$.
   • Центральный угол $AOB$ будет $60^\circ$, так как треугольник $AOB$ является равносторонним (стороны $OA$, $OB$, $AB$ равны радиусу). Меньшая дуга $AB$ составляет $60^\circ$, а большая дуга $AB$ составляет $360^\circ - 60^\circ = 300^\circ$.
4. Отметьте любую точку $C$ на окружности, лежащую на меньшей дуге $AB$.
5. Соедините точки $A$, $C$ и $B$. Угол $ACB$ является вписанным углом, опирающимся на большую дугу $AB$.
6. Величина вписанного угла $ACB$ будет равна половине меры дуги, на которую он опирается, то есть $ACB = \frac{1}{2} \cdot 300^\circ = 150^\circ$.

Ответ: Вписанный угол, равный $150^\circ$, построен.

262. Хорда делит окружность на две дуги, градусные меры которых пропорциональны числам 4 и 5. Чему равен угол, вписанный в данную окружность, сторонам которого принадлежат концы этой хорды?

Дано:

Окружность, хорда. Хорда делит окружность на две дуги, градусные меры которых пропорциональны числам $4$ и $5$.

Найти:

Угол, вписанный в данную окружность, сторонам которого принадлежат концы этой хорды.

Решение:

Пусть градусные меры двух дуг, на которые хорда делит окружность, будут $\alpha_1$ и $\alpha_2$.

По условию задачи, эти меры пропорциональны числам $4$ и $5$. Это означает, что их можно представить как $\alpha_1 = 4x$ и $\alpha_2 = 5x$, где $x$ — некоторый коэффициент пропорциональности.

Сумма градусных мер всех дуг окружности составляет $360^\circ$. Следовательно, сумма мер двух дуг, на которые хорда делит окружность, равна $360^\circ$:

$\alpha_1 + \alpha_2 = 360^\circ$

Подставим выражения для $\alpha_1$ и $\alpha_2$ через $x$:

$4x + 5x = 360^\circ$

$9x = 360^\circ$

Чтобы найти значение $x$, разделим обе части уравнения на $9$:

$x = \frac{360^\circ}{9}$

$x = 40^\circ$

Теперь вычислим градусные меры каждой из дуг:

Первая дуга: $\alpha_1 = 4x = 4 \times 40^\circ = 160^\circ$

Вторая дуга: $\alpha_2 = 5x = 5 \times 40^\circ = 200^\circ$

Вписанный угол равен половине градусной меры дуги, на которую он опирается. Угол, вписанный в окружность, сторонам которого принадлежат концы хорды, опирается на одну из двух дуг, образованных этой хордой.

Рассмотрим два возможных случая для такого вписанного угла:

1. Если вписанный угол опирается на дугу $\alpha_1$ (меньшую дугу, $160^\circ$), то его градусная мера равна:

$Угол_1 = \frac{\alpha_1}{2} = \frac{160^\circ}{2} = 80^\circ$

2. Если вписанный угол опирается на дугу $\alpha_2$ (большую дугу, $200^\circ$), то его градусная мера равна:

$Угол_2 = \frac{\alpha_2}{2} = \frac{200^\circ}{2} = 100^\circ$

Оба этих угла являются вписанными углами, которые опираются на хорду, образующую данные дуги. Они являются смежными углами и в сумме дают $180^\circ$, что характерно для вписанных углов, опирающихся на дуги, составляющие полную окружность.

Ответ:

Угол, вписанный в данную окружность, сторонам которого принадлежат концы этой хорды, может быть равен $80^\circ$ или $100^\circ$.

263. а) Точки $A, B, C$ лежат на окружности. Найдите $\angle ABC$, если хорда $AC$ равна радиусу окружности.

б) Точки $A, B, C$ и $D$ лежат на окружности. Чему равен $\angle ADC$, если $\angle ABC = 60^{\circ}$?

a)

Дано:

Точки A, B, C лежат на окружности.

Хорда AC равна радиусу окружности: $AC = R$.

Найти:

Угол $\angle ABC$.

Решение:

Пусть $O$ — центр окружности. Так как точки $A$ и $C$ лежат на окружности, отрезки $OA$ и $OC$ являются радиусами окружности. Следовательно, $OA = OC = R$.

По условию задачи, хорда $AC$ равна радиусу окружности, то есть $AC = R$.

Таким образом, все стороны треугольника $AOC$ равны радиусу: $OA = OC = AC = R$.

Следовательно, треугольник $AOC$ является равносторонним.

В равностороннем треугольнике все углы равны $60^\circ$. Поэтому центральный угол $\angle AOC = 60^\circ$.

Угол $\angle ABC$ является вписанным углом, который опирается на дугу $AC$.

Центральный угол $\angle AOC$ также опирается на ту же дугу $AC$.

По свойству вписанного угла, вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу. Это выражается формулой:

$\angle ABC = \frac{1}{2} \angle AOC$

Подставляя значение центрального угла, получаем:

$\angle ABC = \frac{1}{2} \cdot 60^\circ = 30^\circ$.

Ответ: $30^\circ$

б)

Дано:

Точки A, B, C, D лежат на окружности.

Угол $\angle ABC = 60^\circ$.

Найти:

Угол $\angle ADC$.

Решение:

Поскольку все четыре вершины A, B, C, D лежат на окружности, четырехугольник $ABCD$ является вписанным в окружность.

В любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равна $180^\circ$.

Углы $\angle ABC$ и $\angle ADC$ являются противоположными углами в четырехугольнике $ABCD$.

Следовательно, их сумма равна $180^\circ$:

$\angle ABC + \angle ADC = 180^\circ$

Подставляем данное значение $\angle ABC = 60^\circ$ в уравнение:

$60^\circ + \angle ADC = 180^\circ$

Чтобы найти $\angle ADC$, вычтем $60^\circ$ из $180^\circ$:

$\angle ADC = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.

Ответ: $120^\circ$