Номер 262, страница 117 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

262. Хорда делит окружность на две дуги, градусные меры которых пропорциональны числам 4 и 5. Чему равен угол, вписанный в данную окружность, сторонам которого принадлежат концы этой хорды?

Дано:

Окружность, хорда. Хорда делит окружность на две дуги, градусные меры которых пропорциональны числам $4$ и $5$.

Найти:

Угол, вписанный в данную окружность, сторонам которого принадлежат концы этой хорды.

Решение:

Пусть градусные меры двух дуг, на которые хорда делит окружность, будут $\alpha_1$ и $\alpha_2$.

По условию задачи, эти меры пропорциональны числам $4$ и $5$. Это означает, что их можно представить как $\alpha_1 = 4x$ и $\alpha_2 = 5x$, где $x$ — некоторый коэффициент пропорциональности.

Сумма градусных мер всех дуг окружности составляет $360^\circ$. Следовательно, сумма мер двух дуг, на которые хорда делит окружность, равна $360^\circ$:

$\alpha_1 + \alpha_2 = 360^\circ$

Подставим выражения для $\alpha_1$ и $\alpha_2$ через $x$:

$4x + 5x = 360^\circ$

$9x = 360^\circ$

Чтобы найти значение $x$, разделим обе части уравнения на $9$:

$x = \frac{360^\circ}{9}$

$x = 40^\circ$

Теперь вычислим градусные меры каждой из дуг:

Первая дуга: $\alpha_1 = 4x = 4 \times 40^\circ = 160^\circ$

Вторая дуга: $\alpha_2 = 5x = 5 \times 40^\circ = 200^\circ$

Вписанный угол равен половине градусной меры дуги, на которую он опирается. Угол, вписанный в окружность, сторонам которого принадлежат концы хорды, опирается на одну из двух дуг, образованных этой хордой.

Рассмотрим два возможных случая для такого вписанного угла:

1. Если вписанный угол опирается на дугу $\alpha_1$ (меньшую дугу, $160^\circ$), то его градусная мера равна:

$Угол_1 = \frac{\alpha_1}{2} = \frac{160^\circ}{2} = 80^\circ$

2. Если вписанный угол опирается на дугу $\alpha_2$ (большую дугу, $200^\circ$), то его градусная мера равна:

$Угол_2 = \frac{\alpha_2}{2} = \frac{200^\circ}{2} = 100^\circ$

Оба этих угла являются вписанными углами, которые опираются на хорду, образующую данные дуги. Они являются смежными углами и в сумме дают $180^\circ$, что характерно для вписанных углов, опирающихся на дуги, составляющие полную окружность.

Ответ:

Угол, вписанный в данную окружность, сторонам которого принадлежат концы этой хорды, может быть равен $80^\circ$ или $100^\circ$.