Номер 257, страница 113 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

257. Из вершины $B$ равностороннего $\Delta ABC$ проведен луч $BD$, делящий его сторону $AC$ в отношении 1 : 2, считая от точки $A$. Найдите синусы углов $ABD$ и $CBD$.

Дано

треугольник $ABC$ – равносторонний;

луч $BD$ проведен из вершины $B$ к стороне $AC$;

точка $D$ делит сторону $AC$ в отношении $AD : DC = 1 : 2$.

Перевод в СИ

Пусть длина стороны равностороннего треугольника $ABC$ равна $a$.

Тогда $AB = BC = AC = a$.

Углы равностороннего треугольника: $\angle A = \angle B = \angle C = 60^\circ$.

Поскольку $AD : DC = 1 : 2$ и $AD + DC = AC = a$, то $AD = \frac{1}{3}a$ и $DC = \frac{2}{3}a$.

Найти

$\sin(\angle ABD)$

$\sin(\angle CBD)$

Решение

Вычисление длины отрезка BD

Рассмотрим треугольник $ABD$. Известны стороны $AB = a$, $AD = \frac{a}{3}$ и угол $\angle BAD = \angle A = 60^\circ$.

По теореме косинусов для треугольника $ABD$ найдем длину стороны $BD$:

$BD^2 = AB^2 + AD^2 - 2 \cdot AB \cdot AD \cdot \cos(\angle BAD)$

$BD^2 = a^2 + \left(\frac{a}{3}\right)^2 - 2 \cdot a \cdot \frac{a}{3} \cdot \cos(60^\circ)$

$BD^2 = a^2 + \frac{a^2}{9} - 2 \cdot \frac{a^2}{3} \cdot \frac{1}{2}$

$BD^2 = a^2 + \frac{a^2}{9} - \frac{a^2}{3}$

$BD^2 = \frac{9a^2 + a^2 - 3a^2}{9}$

$BD^2 = \frac{7a^2}{9}$

$BD = \sqrt{\frac{7a^2}{9}} = \frac{a\sqrt{7}}{3}$

Нахождение синуса угла ABD

В треугольнике $ABD$ применим теорему синусов:

$\frac{AD}{\sin(\angle ABD)} = \frac{BD}{\sin(\angle BAD)}$

Отсюда выразим $\sin(\angle ABD)$:

$\sin(\angle ABD) = \frac{AD \cdot \sin(\angle BAD)}{BD}$

Подставим известные значения:

$\sin(\angle ABD) = \frac{\frac{a}{3} \cdot \sin(60^\circ)}{\frac{a\sqrt{7}}{3}}$

$\sin(\angle ABD) = \frac{\frac{a}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{a\sqrt{7}}{3}}$

$\sin(\angle ABD) = \frac{\frac{a\sqrt{3}}{6}}{\frac{a\sqrt{7}}{3}}$

$\sin(\angle ABD) = \frac{a\sqrt{3}}{6} \cdot \frac{3}{a\sqrt{7}}$

$\sin(\angle ABD) = \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{7}}$

Рационализируем знаменатель:

$\sin(\angle ABD) = \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{7}}{2\sqrt{7} \cdot \sqrt{7}} = \frac{\sqrt{21}}{14}$

Ответ: $\frac{\sqrt{21}}{14}$

Нахождение синуса угла CBD

Рассмотрим треугольник $CBD$. Известны стороны $BC = a$, $CD = \frac{2a}{3}$ и угол $\angle BCD = \angle C = 60^\circ$. Длину стороны $BD$ мы уже нашли: $BD = \frac{a\sqrt{7}}{3}$.

Применим теорему синусов для треугольника $CBD$:

$\frac{CD}{\sin(\angle CBD)} = \frac{BD}{\sin(\angle BCD)}$

Отсюда выразим $\sin(\angle CBD)$:

$\sin(\angle CBD) = \frac{CD \cdot \sin(\angle BCD)}{BD}$

Подставим известные значения:

$\sin(\angle CBD) = \frac{\frac{2a}{3} \cdot \sin(60^\circ)}{\frac{a\sqrt{7}}{3}}$

$\sin(\angle CBD) = \frac{\frac{2a}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{a\sqrt{7}}{3}}$

$\sin(\angle CBD) = \frac{\frac{a\sqrt{3}}{3}}{\frac{a\sqrt{7}}{3}}$

$\sin(\angle CBD) = \frac{a\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{3}{a\sqrt{7}}$

$\sin(\angle CBD) = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}$

Рационализируем знаменатель:

$\sin(\angle CBD) = \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{7}}{\sqrt{7} \cdot \sqrt{7}} = \frac{\sqrt{21}}{7}$

Ответ: $\frac{\sqrt{21}}{7}$